Составление прогнозов с помощью уравнений авторегрессии

Вычисления с помощью уравнений авторегрессии проводят в виде многошаговой процедуры, на каждом этапе которой определяется значение переменной y_t для очередного отрезка времени (года, квартала, месяца, дня и т.п.).

Если период упреждения равен l единицам, то на первой стадии расчетов вычисляют величину показателя на момент времени t = n + 1. с этой целью в уравнение авторегрессии подставляют p последних членов исходного динамического ряда, затем определяется величина показателя ŷ_t для t = n + 2. при этом в качестве одного из аргументов используется переменная ŷ_{t = n+1}, найденная на предыдущем этапе. В ходе последующих вычислений определяются ŷ_{t = n+3} ; ŷ_{t = n+4} ; . . . , ŷ_{t = n+l}.

Точность прогноза в значительной степени зависит от периода упреждения. Чем больше 1, тем выше возможная ошибка прогноза, том значительнее расхождения между расчетными и фактическими значениями переменной. В качестве одного из простейших критериев адекватности уравнения авторегрессии исходному временному ряду используется показатель абсолютного среднего отклонения |γ_ср|, определяемый по формуле:

(4.12)

Вычисления |γ_ср|, осуществляют для предпрогнозного периода времени путем сопоставления расчетных и исходных уровней динамического ряда. используя данные предыдущего примера (см. таблицу 4-1), определим объем производства хлебобулочных изделий для t=23дня. По уравнению авторегрессии (4.11) предварительно рассчитаем выпуск продукции за два предшествующих дня:

Тогда прогноз с упреждением l = 3составит:

Найдем абсолютную среднюю ошибку прогноза (ŷ₂₃=3,074т)и сопоставим её с аналогичными оценками, рассчитанными для прогнозов с упреждениямиl = 1 и l = 2дням. Для этого необходимо составить таблицу и сосчитать абсолютные средние отклонения.

Вопросы для самоконтроля по теме

1. Что понимается под автокорреляционной связью между переменными?

2. В чем состоит отличие уравнения авторегрессии от моделей вида =f(t)?

3. Что показывает период запаздывания k?

4. Что понимается под автокорреляционной и частной автокорреляционной функциями?

5. Как определяется порядок уравнения авторегрессии?

Задание

Имеются данные о средних расходах на конечное потребление за 8 лет (табл.1.11). Рассчитать коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка.

Таблица 1.11

t	yt
1	7
2	8
3	8
4	10
5	11
6	12
7	14
8	16

Понятие уравнений множественной регрессии.

Множественной называют прогнозную модель, построенную с использованием нескольких временных рядов, уровни которых относятся к одноименным отрезкам времени (датам).

В общем случае множественное уравнение регрессии имеет вид:

= f(x_1t,x_2t,x_3t,...,x_pt) (5.14)

При отборе признаков-аргументов, подлежащих включению в множественную модель, особое значение придается традиционному экономическому анализу, в ходе которого глубже и полнее выявляется существо, направленность и теснота связи между факторами.

В процессе отбора факториальных признаков, подлежащих включению в множественную модель, особое внимание следует уделять выявлению и устранению т.н. мультиколлинеарности, под которой понимается наличие тесной корреляционной связи между двумя (коллинеарность) и более (мультиколлинеарность) аргументами в модели (5.14). для этого определяются коэффициенты парной корреляции между признакоми. Считается, что показатели-аргументы коллинеарны, если величина коэффициента корреляции превышает 0,8. Для устранения коллинеарности необходимо оставить один фактор из числа дублирующих друг друга.

Важное значение в ходе статистического моделирования имеет правильное определение общего числа факториальных признаков в (5.14). неоправданное усложнение модели повышает трудоемкость вычислений, затрудняет анализ и не обеспечивает заметного повышения достоверности прогноза. Наоборот, упрощение модели может привести к ошибкам в расчетах. Считается, что для получения оптимальных результатов количество факториальных признаков должно быть примерно в 5 раз меньше числа наблюдений, составляющих выборочную совокупность по каждой переменной.

Для определения формы связи между признаками значительное внимание следует уделять графическим построениям, отражающим изменение зависимой переменной под действием каждого из факторов в отдельности. Если эта связь линейна, то используется линейное многофакторное уравнение регрессии:

=a₀+a₁x_1t,+a₂ x_2t,+...+a_px_pt (5.15)

Коэффициенты a₁, a₂, ... , a_pназываются коэффициентами чистой регрессии. Они показывают, как изменится зависимая переменная y_tпри увеличении или уменьшении фактора на единицу при условии, что все остальные признаки, включенные в модель, остаются постоянными.

Наряду с линейной моделью определенное распространение получили нелинейные многофакторные корреляционные зависимости. Из криволинейных функций чаще всего используется степенная функция:

=(5.16)

Путем логарифмирования степенное уравнение можно привести к линейному виду:

=a₀+a₁x^’_1t,+a₂ x^’_2t,+...+a_px^’_pt

Процесс построения и особенности практического применения многофакторных моделей зависит от характера информации, используемой при выполнении расчетов. В ходе вычислений могут применяться первичные данные, отражающие состояние объекта как в статике, так в динамике.

Статическое моделирование применяется для анализа взаимосвязей между объектами и явлениями. Динамическое моделирование, основанное на обработке связанных временных рядов, позволяет определить общую направленность в изменении признаков, более точно определить величину исследуемого показателя в будущем. Для исключения автокорреляции между уровнями рядов могут применяться методы последовательных разниц, Фриша-Воу и пр. В ряде случаев целесообразно совместное использование статических и динамических моделей.

Наибольшее распространение получили две вычислительные схемы прогнозирования с помощью методов множественной корреляции и регрессии. Первая схема основана на коррелировании отклонений от тенденций изменения признаков. Как уже показывалось, использование отклонения ослабляет воздействие автокорреляции на результирующие показатели.

Вторая схема предполагает построение нескольких статических моделей (для каждого года предпрогнозного периода), параметры которых представляются в виде функций времени, после чего рассчитываются наиболее вероятные значения признаков в перспективе.

Пример. По данным за 20 месяцев (табл. 17) необходимо построить уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия y (млн. руб.) от цен на сырье x1 (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда x2 (ед. продукции на 1 работника).

Таблица 17

Месяцы	Прибыль y	Цена на сырье x1	Производительность труда x2
1	210	800,0	300,0
2	720	1000,0	500,0
3	300	1500,0	600,0
4	950	800,0	500,0
5	430	900,0	400,0
6	420	1200,0	500,0
7	130	1100,0	400,0
8	430	1200,0	500,0
9	60	1300,0	450,0
10	570	1100,0	500,0
11	520	1400,0	600,0
12	250	1300,0	500,0
13	800	1200,0	600,0
14	200	1200,0	450,0
15	300	1400,0	550,0
16	50	1300,0	450,0
17	550	1100,0	500,0
18	360	1100,0	450,0
19	320	1400,0	550,0
20	420	1200,0	500,0

Для вычисления параметров многофакторной модели можно использовать ППП Excel. Надо войти в меню в Анализ данных и выбрать функциюРегрессия. Также как в примере для двухфакторной модели ввести все исходные данные. После этого задать область вывода результатов функцииРегрессия. Результаты регрессионного анализа представлены на рис. 14.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,995838766
R-квадрат	0,991694848
Нормированный R-квадрат	0,99
Стандартная ошибка	22,87
Наблюдения	20

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1062001,05	531000,52	1014,96	2,0628E-18
Остаток	17	8893,94	523,17
Итого	19	1070895

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	194,53	37,11	5,24	6,63E-05	116,22	272,84	116,22	272,84
Переменная X 1	-1,46	0,036033319	-40,72942589	2,16E-18	-1,54	-1,39	-1,54	-1,39
Переменная X 2	3,93	0,095103524	41,4031142	1,64E-18	3,73	4,13	3,73	4,13

Рис.14. Результаты применения процедуры Регрессия для многофакторной модели

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

y_t=194,534 - 1,468x1_t+ 3,938x2_t .

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки _t должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания, что свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Вопросы для самоконтроля по теме

12. Какие модели прогнозирования носят название многофакторных?

13. Как приводят степенное многофакторное уравнение прогноза к линейной форме?

14. Что понимается под мультиколлинеарностью независимых переменных и как выявляется ее наличие?

15. Как интерпретируются коэффициенты регрессии линейной многофакторной модели?

Задание

Имеются данные (табл.18) зависимости потребления электроэнергии y (тыс. кВтч) от объемов производства продукции А - x1 (тыс. ед.) и продукции В - x2 (тыс. ед.). Определить параметры уравнения регрессии.

Таблица 18

Месяцы	Потребление электроэнергии, y	Производство продукции (А - x1)	Производство продукции В - x2
1	1450	650,0	300,0
2	1562	680,0	365,0
3	1490	550,0	510,0
4	1800	700,0	500,0
5	1650	660,0	450,0
6	1500	575,0	500,0
7	1470	550,0	460,0
8	1610	620,0	480,0
9	1680	670,0	520,0
10	1780	710,0	570,0
11	1700	655,0	600,0
12	1820	750,0	550,0
13	1856	740,0	620,0
14	1760	685,0	580,0
15	1860	720,0	600,0