Установление порядка прогнозирующей функции

Автокорреляционная зависимость дает качественную оценку порядка уравнения авторегрессии. Для уточнения конструктивных особенностей прогнозирующего уравнения целесообразно использовать т.н. частную автокорреляционную функцию. Ее применение основано на том, что лишь часть коэффициентов авторегрессии a_j, стоящих в начале последовательности, принимает ненулевые значения.

Коэффициенты более высокого порядка в большинстве случаев стремятся к нулевому уровню, поскольку взаимодействие членов динамического ряда, отстоящих друг от друга на большом расстоянии, незначительно.

Чтобы установить порядок авторегрессии, целесообразно изменить выражения (4.2) – (4.3). В каждое из них необходимо ввести дополнительный подстрочный индекс k, характеризующий количество переменных y_t-j в правой части уравнений авторегрессии:

(4.6)

(4.7)

(4.8)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4.9)

При подобной форме записи коэффициенты a_kk будут стоять на последнем месте в выражениях (4.6) – (4.9). Очевидно, что по мере увеличения порядка уравнения |a_kk|  min. Зависимость a_kk от времени запаздывания называется частной автокорреляционной функции. Эта функция позволяет определить порядок процесса авторегрессии.

Доказано, что при авторегрессии порядка p частная автокорреляционная функция не равна нулю для всех kp и стремится к нулю при k>p. Если рассчитать несколько значений a_kk и расположить их в порядке увеличения периода запаздывания k, то индексы последнего коэффициента a_kk, существенно отличающегося от нуля, определят порядок уравнения авторегрессии (k=p).

Таким образом, необходимо определить, сколько членов должно быть в уравнении авторегрессии (4.1) с помощью построения частотной корреляционной функции, для чего надо посчитать коэффициенты a_kk.

Наиболее рациональным способом определения параметров уравнения авторегрессии (4.1) является использование метода наименьших квадратов и минимизация остаточных дисперсий для каждого из выражений (4.6) – (4.9) в отдельности:

(4.10)

Как уже было показано, применение метода наименьших квадратов сводиться к построению системы нормальных уравнений. В данном случае они будут иметь вид:

.................................................................................................................

Определив по исходному временному ряду все суммы, указанные в нормальных уравнениях, и решив систему, можно рассчитать коэффициенты авторегрессии а₁, а₂, ... , а_Р.

Пример. Применительно к рассмотренному нами примеру построим уравнение авторегрессии второго порядка (p = 2):

Расчет сумм для уравнения авторегрессии выполним в таблице 1.10.

Таблица 1.10

Время, (условные дни) t	Выработка хлеба yt	yt-1	Yt-2	y2t-1	y2t-2	ytyt-1	ytyt-2	yt-1yt-2
1	4,6
2	6,8	4,6
3	5,1	6,8	4,6	46,24	21,16	34,68	23,46	31,28
4	7,1	5,1	6,8	26,01	46,24	36,21	48,28	34,68
5	4,6	7,1	5,1	50,41	26,01	32,66	23,46	36,21
6	5,5	4,6	7,1	21,16	50,41	25,3	39,05	32,66
7	4,1	5,5	4,6	30,25	21,16	22,55	18,86	25,3
8	5,1	4,1	5,5	16,81	30,25	20,91	28,05	22,55
9	3,7	5,1	4,1	26,01	16,81	18,87	15,17	20,91
10	5	3,7	5,1	13,69	26,01	18,5	25,5	18,87
11	4,4	5	3,7	25	13,69	22	16,28	18,5
12	5,2	4,4	5	19,36	25	22,88	26	22
13	4,1	5,2	4,4	27,04	19,36	21,32	18,04	22,88
14	5,4	4,1	5,2	16,81	27,04	22,14	28,08	21,32
15	4,6	5,4	4,1	29,16	16,81	24,84	18,86	22,14
16	5,9	4,6	5,4	21,16	29,16	27,14	31,86	24,84
17	3	5,9	4,6	34,81	21,16	17,7	13,8	27,14
18	6,8	3	5,9	9	34,81	20,4	40,12	17,7
19	3,1	6,8	3	46,24	9	21,08	9,3	20,4
20	5,9	3,1	6,8	9,61	46,24	18,29	40,12	21,08
Всего				468,77	480,32	427,47	464,29	440,46

Подставив результаты вычислений в систему, получим:

Отсюда

Уравнение авторегрессии второго порядка имеет вид:

(1.24)