Сглаживание временного ряда

Отметим, что пункт 2 представленной схемы прогнозирования может выполнять двоякую роль: он может быть как подготовительным этапом для дальнейшей обработки представленных данных (т.е. для выполнения этапа 3 – расчета параметров прогнозирующей функции ў_t), так и служить вполне самостоятельным методом прогнозирования, т.к. он даёт определенное представление о характере тренда. Рассмотрим два способа сглаживания.

Метод скользящей средней

Суть метода состоит в замене фактических значений показателя их усредненными величинами.

Порядок построения. Пусть y1, y2, ..., yn - динамический ряд. Для определения скользящей средней последовательно рассчитывают сумму m (нечетное число) элементов ряда. По отдельным суммам определяют средние арифметические, каждая из которых меняет свою величину (“скользит”) по мере увеличения t. Наиболее часто на практике применяются трех- и пятичленные средние. Формулы расчета:

y_t^’ = (y_t-1 +y_t+y_t+1)/3, t=2,3, ... , (n-1) (2.2)

y_t’ =(y_t-2 + y_t-1 +y_t+y_t+1+ y_t+2)/5, t=3,4, ... , (n-2) (2.3)

Если скользящая средняя определяется по четному числу элементов, то она не может быть приписана реальному значению t. Ее определяют в 2 этапа: сначала находят средние для промежутков (t-1,t) и (t, t+1), а затем полученные величины суммируют и вновь используют для расчета средней. Чаще используется вычисление по 4 членам ряда:

y_t^’ =1/2[(y_t-2+y_t-1 +y_t+y_t+1)/4+(y_t-1+y_t+y_t+1+ y_t+2)/4], t=3,4,.. ,(n-2) (2.4)

Пример 2.1. В таблице 2.1 представлен объем реализации кондитерских изделий торговым предприятием в течение года. Данные нанесены на график рис. 2.1. Как следует из этого графика этот показатель характеризуется достаточно большим разбросом точек. Поэтому применим к нему метод скользящей средней. Результаты расчетов внесены в таблицу 2.1. и показаны на рис. 2.1.

Таблица 2.1.

Месяц (в условных ед.)	Объем реализации конд. изделий, т.	Трехчленные суммы	Трехчленные скользящие средние	Пятичленные суммы	Пятичленные скользящие средние
1	137,3
2	132,2	411,5	137,2
3	142,0	415,1	138,4	689,2	137,8
4	140,9	419,7	139,9	692,2	138,4
5	136,8	418,0	139,3	695,3	139,1
6	140,3	412,4	137,5	687,3	137,5
7	135,3	409,6	136,5	680,1	136,0
8	134,0	403,0	134,3	678,2	135,6
9	133,7	402,6	134,2	673,2	134,6
10	134,9	403,9	134,6	680,6	136,1
11	135,3	412,9	137,6
12	142,7

Рис. 2.1. График к примеру 2.1.

Метод конечных разностей

Сфера применения - случай, когда динамика изменения исследуемой переменной отображается одним из полиномов k-го порядка:

ў_t =a₀ +a₁ t+a₂t² + ... + a_kt^k (2.5)

Особенность метода - последовательное определение специальных показателей - разностей, среди которых различают разности первого, второго и т.д. порядков:

_t¹ =y_t+1 - y_t (t=1,2,3, ... , n-1); (2.6)

_t²=_t+1¹ -_t¹ = y_t+2 - 2y_t+1 + y_t (t=1,2,3, ... , n-2); (2.7)

_t³=_t+1² -_t² = y_t+3 - 3y_t+2 +3y_t+1 - y_t (t=1,2,3, ... , n-3); (2.8)

и т.д.

В основе метода конечных разностей лежит одно из свойств полинома степени k обращать в нуль разности _t+1^k+1 и придавать одинаковое значение разностям _t+1^k .

Пример 2.2. По данным объема производства хлеба на предприятиях экономического района за 8 лет необходимо определить закономерность выработки продукции за анализируемый промежуток времени. Рассчитаем первые и вторые разности (см. таблицу 2.2).

Таблица 2.2

Год, t	Произведено хлеба yt, тыс. т	Первые разности t1	Вторые разности t2
1	7,6	1,1	0
2	8,7	1,1	0
3	9,8	1,1	0,1
4	10,9	1,2	-0,1
5	12,1	1,1	0
6	13,2	1,1	0
7	14,3	1,1	–
8	15,4	–	–

Как следует из данной таблицы, абсолютные уровни первых разностей для всех значений t являются практически одинаковыми, а величина вторых разностей в большинстве случаев принимает нулевые или близкие к ним значения. Поэтому можно определить зависимость выработки хлеба от времени как полином 1-ой степени, то есть линейную зависимость.