5. Диффузия и дрейф неосновных избыточных носителей заряда в примесном полупроводнике

Рассмотрим диффузию и дрейф неосновных избыточных носите­лей заряда в примесном полупроводнике при наличии внешнего однородного электрического поля напряженностью E.

Допустим, что имеется полупроводник n-типа (р₀ n n₀), попереч­ные размеры которого значительно меньше его длины. Очень узкая область полупроводника

(-l m х m 0) освещается светом, так что во всем объеме освещенной области образца происходит равномер­ная генерация электронов и дырок (рис. 4). Пусть концентрация основных носителей заряда n₀ велика по сравнению с избыточной кон­центрацией неосновных носителей заряда , время жизни которых _p. В освещенной области электронного полупроводника, где воз­буждаются в равном количестве избыточные электроны и дырки n=р, концентрация неравновесных дырок р=р₀р бу­дет значительно больше, чем их концентрация р₀ в неосвещенной части образца. Благодаря наличию градиента концентрации дырок возникает их диффузия. В неосвещенной части образца, куда продиффундируют дырки, появится объемный положительный заряд и электронейтральность образца нарушится. Этот объемный заряд создает статическое электрическое поле, которое вызовет перерас­пределение носителей заряда, так что в эту область из освещенной части образца в течение максвелловского времени релаксации будут подтянуты электроны, и заряд избыточных дырок будет скомпенсиро­ван. Полная компенсация объемного заряда будет в том случае, если концентрация избыточных электронов будет равна концентрации избыточных дырок в любой точке образца. Таким образом, избыточ­ные неосновные носители заряда—дырки, диффундируя в глубь элек­тронного полупроводника, увлекают за собой равное количество основных носителей заряда — электронов, так что объемный заряд не создается, а их диффузия происходит как диффузия квазинейтраль­ного облака неравновесных носителей, заряд в котором Dn = Dр. По мере продвижения в глубь полупроводника избыточные дырки и электроны будут рекомбинировать и их концентрации с расстоя­нием будут убывать.

Если к такому полупроводнику приложить однородное электри­ческое поле E, то при ускоряющем поле дырки будут затягивать за собой и электроны в равном количестве, а если поле будет замедлять движение дырок, то соответствующим образом произойдет и перераспределе­ние основных носителей заряда. Сле­довательно, и во внешнем электриче­ском поле в n-материале квазиней­тральное облако неравновесных носи­телей заряда движется в направлении движения избыточных дырок со ско­ростью дрейфа неосновных носителей.

(18)

Проведем решение этого уравнения для стационарного случая, когда dp/dt = 0 в неосвещенной части полупроводника (G = 0). Для этого, продифференцировав выражение для плотности дыроч­ного тока (8) и подставив его в (18), получим:

E (19)

Это равенство справедливо для такого внешнего электрического поля, когда D_p, _p и _р не зависят от поля.

Разделив обе части (19) на D_p и введя обозначения

L_p =

L_E = t_pm_pE , (20)

преобразуем (19) к виду

L_E/L_p²

Общим решением этого уравнения будет:

Dp = C₁e^a1x + C₂e^a2x,

где C₁ и С₂ — постоянные, определяемые из граничных условий;

,

а при х;р 0;a₁, a₂ — корни характеристического уравнения:

L_E/L_p² - 1/ L_p² = 0

a_1,2 = (LE(L_E² + 4L_p²))/2 L_p²

Учитывая уменьшение концентрации неосновных неравновесных носителей заряда по мере удаления от освещенной области образца, окончательно получаем:

при х l 0

,

где L₁ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) - L_E) (21)

а при х m –l

Dp = C₂e^{x / L2} = Dp(0)e ^{x / L2} (22)

где

L₂ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) + L_E)

Таким образом, по обе стороны от освещенной области образца кон­центрация избыточных неосновных носителей заряда снижается по экс­поненциальному закону с постоян­ными спада L₁ и L₂, которые назы­вают длиной затягивания.

Проведем анализ полученных выражений. Пусть внешнее элек­трическое поле отсутствует (E = 0). В отсутствие внешнего электриче­ского поля имеет место только диф­фузия избыточных дырок.

Так как L_E = t_pm_pE = 0, то избыточная концентрация неосновных носите­лей заряда — дырок в результате рекомбинации будет изменяться с расстоянием по закону

Dр = Dр(0)е^{-х /Lр}. (23)

Из этого выражения следует, что экспоненциальный спад концен­трации избыточных неосновных носителей заряда, обусловленный рекомбинацией, будет симметричным по обе стороны от освещенной части образца (рис. 5, а) и

определяется величиной L_p, называе­мой диффузионной длиной неосновных носителей за­ряда — в данном случае дырок. L_p — это то среднее расстояние, на которое смещаются неравновесные дырки при диффузии за время жизни. Следовательно, в отсутствие внешнего электрического поля избыточная концентрация дырок в результате рекомбинации будет изменяться с расстоянием по экспоненциальному закону (23). Это распределение справедливо и для неравновесных электронов, так как при решении задачи предполагалось выполнение электроней­тральности, по которому Dn = Dp.

Поскольку имеет место только диффузия избыточных носителей заряда, то ток является диффузионным током, для которого будем иметь:

J_{p диф} = -eD_pJ_{p диф} (0)e^-x/Lp

т. е. диффузионный ток избыточных носителей заряда изменяется с координатой по тому же закону, по которому изменяется избыточ­ная концентрация дырок. Величину v_d, равную:

v_D = L_p/t_p = D_p/L_p, (24)

называют диффузионной скоростью. Численно она равна скорости, с которой неравновесные дырки за время жизни проходят путь, равный диффузионной длине.

Рассмотрим теперь случай, когда E 0. Если L_E n 2L_P, или eL_pEn2kT , то L₁ = L₂ = L_P, Следовательно, в слабом электрическом поле, когда E n E_с, где E_с = 2kT/eL_p — критическое поле, распределение избыточной концентрации неосновных носите­лей заряда определяется диффузией и описывается уравнением (23). При наличии сильного внешнего электрического поля, когда | L_E | > 2L_P, постоянные спада L₁ и L₂ отличаются от диффузионной длины L_p. В зависимости от направления электрического поля (E > 0 и E <0) они будут больше или меньше L_p. Например, при E > 0 в неосвещенной части для областей

х < —l и x > 0

L₁ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) + L_E) < L_p < L₁ = 2 L_p² /((L_E² + 4L_p²) - L_E)

Отсюда следует, что внешнее электрическое поле искажает сим­метрию в распределении избыточной концентрации носителей заряда.

Рассмотрим теперь случай таких больших полей E.E_c, для которых выполняется неравенство L²_E . 4L²_p .Это условие согласно (20) и (24) можно записать следующим образом:

L²_E / 4L²_p = (t_pm_pE) / 4L²_p = t²_pv² / 4L²_p = v² /4v²_D,

где v = m_pE — скорость дрейфа,

Величина L_E численно равная пути, проходимому неравновесным носителем заряда во время жизни со скоростью дрейфа, называется длиной дрейфа. Следовательно, напряженность поля E будет боль­шой, если длина дрейфа намного превосходит диффузионную длину.

Определим длины затягивания L₁ и L₂ в случае, когда E > 0. Для области х > 0 из выражения (21) можно записать:

L₁ = 2 L_p² / L_E ((1 + 4L_p²/ L_E²) - 1) 2 L_p² / (2L_E L_p²/ L_E²) = L_E

т. е. длина затягивания равна длине дрейфа

L₁ = L_E = t_pm_pE =t_pv

и распределение избыточной концентрации дырок определяется выра­жением

Dp1 = Dp(0)e ^{–x / L1} = Dp(0)e^{–x / tpmpE} (25)

т. е. так же, как и в случае только диффузии, избыточная концен­трация дырок спадает с ростом х экспоненциально, но только теперь с постоянной спада L₁ = L_E. Поскольку постоянная спада L₁ > L_p то L₁ называется также «диффузионной длиной по пол ю».

Из сравнений (23) и (25) следует, что при L_E ² . 4L²_p в области полупроводника при х > 0 избыточная концентрация носителей за­ряда больше (правая часть рис. 5, б), чем в отсутствие внешнего электрического поля. Следовательно, при прохождении тока, выз­ванного сильным электрическим полем, т. е. когда скорость дрейфа намного больше диффузионной скорости (v . v_d), при E > 0 избыточные дырки в электронном полупроводнике затягиваются по­лем в область полупроводника х > 0 и полупроводник обогащается неосновными носителями заряда в большем количестве, чём при наличии только диффузии в отсутствие внешнего электрического поля (E =0). Это явление носит название инжекции неосновных носителей заряда.

Для дырочного полупроводника инжекция электронов будет наблюдаться при E < 0.

Рассмотрим теперь распределение избыточных дырок для об­ласти х < —l в случае E > 0. Теперь длина затягивания

L₂ = 2 L_p² / L_E ((1 + 4L_p²/ L_E²) + 1) 2 L_p² / L_E(2+2L_p²/ L_E²) 2L_p²/ L_E

и на основании (22) получим:

Dр₂ = Dр (0)e ^{-x / L1} = Dр (0) e^{-LE / L2P}.

Очевидно, что с ростом напряженности поля L_E увеличивается, a L₂ уменьшается. Поскольку L₂ < L_Р, то L₂ называют «диффузионной длиной против поля» и для области х < — l во всех точках полупроводника, например, на расстоянии

2L_P Dр₂ < Dр . Это значит, что при E > 0 с ростом напряженности электри­ческого поля объем электронного полупроводника для области х < — l обедняется неосновными носителями заряда (левая часть рис. 5, б). Это явление носит название эксклюзии неосновных носителей заряда.

Для дырочного полупроводника эксклюзия электронов будет иметь место при E <0.

При изменении направления внешнего электрического поля E < 0 в области полупроводника х > 0 будет иметь место уменьшение концентрации избыточных носителей заряда, а в области х <-l — их увеличение (рис. 5, в). Эти явления соответственно называются экстракцией и аккумуляцией неравновесных носителей заряда. В дырочном полупроводнике они будут наблюдаться при E > 0.