3. Соотношение эйнштейна

В неоднородном полупроводнике при термодинамическом равнове­сии ток равен нулю, т. е. J = J_n + J_p = 0. В этом случае токи про­водимости уравновешивают диффузионные токи и на основании (7) для электронов можно записать:

nm_nE_ст = - D_n (9)

Поскольку в полупроводнике имеется статическое электрическое поле E_СТ, то электроны, находящиеся в, этом поле, будут обладать потенциальной энергией

U = -ef. Поэтому при отсутствии вырождения концентрация электронов в зоне проводимости будет удовлетворять соотношению Больцмана вида.

n = N_ce ^{- (Eс + U - F)/kT} = n₀e^{ef / kT}

где n₀ = N_ce ^{- (Eс + U - F)/kT} — равновесная концентрация электронов; f — электростатический потенциал.

Учитывая, что E_ст = - , и подставляя значения п и в урав­нение (9), получаем:

- m_nn₀e ^{ef / kT} = -D_n e ^{ef / kT}

откуда для электронов будем иметь:

=

аналогично для дырок

=

Уравнение, связывающее коэффициент диффузии носителей заряда, подчиняющихся статистике Максвелла, с их дрейфовой подвиж­ностью в условиях термодинамического равновесия носит название соотношения Эйнштейна.

Как показал эксперимент, соотношение Эйнштейна применимо и к неравновесным носителям заряда. Это вполне закономерно, так как нерав­новесные носители заряда за малое время, намного меньше их времени жизни, обмениваясь энергией с решеткой, приходят в тепловое равновесие с ре­шеткой, и их распределение по энергиям при отсутствии вырождения не отличается oт распределения равновесных носителей заряда.

4. Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда в случае монополярной проводимости

Рассмотрим диффузию и дрейф неравновесных носителей заряда в случае монополярной прово­димости, когда свободные носители заряда возни­кают только в результате возбуждения их с уров­ней примеси. Предположим, что часть доста­точно длинного однородного полупроводника, например n-типа, освещается слабопоглоща­ющимся светом. В освещенной части, полупровод­ника при х < 0 (рис. 3, а) имеет место одно­родная генерация электронов, в результате пере­вода их светом с донорных уровней в зону проводимости. В этом случае концентрация неравновесных электро­нов n определяется концентрацией равновесных n₀ и избыточных электронов n, возбужденных с уровней донорной примеси. И если нет центров захвата, то число избыточных электронов Dn равно количеству положительных ионов донорной примеси DN⁺_d, т. е.

Dn = DN⁺_d.

Это равенство выражает собой условие электронейтральности в слу­чае монополярной проводимости.

Поскольку концентрация электронов в освещенной части образца больше, чем в неосвещенной, то неравновесные электроны из осве­щенной части образца будут диффундировать в неосвещенную (рис. 3, б). Вследствие этого нарушится электронейтральность в некоторой области полупроводника и возникнет объемный заряд, а, следовательно, и электрическое поле. В неосвещенной части об­разца, куда в результате диффузии пришли избыточные электроны, объемный заряд r будет отрицательным, а в освещенной области, откуда они ушли, — положительным, обусловленным ионами до­норной примеси (рис. 3, в). Эти заряды создадут статическое элек­трическое поле напряженностью E_ст, направленное так, что оно будет препятствовать диффузии неравновесных электронов (рис.3,г). Таким образом, возникновение диффузионного тока J_диф=eD_ndn/dx приводит к появлению статического электрического поля напряженностью E_ст, а следовательно, и тока проводимости J_пр=en_nE_CT, направленного против тока диффузии. В стационарном состоянии плотность полного тока равна нулю:

J = J _др + J _диф = enm_nE _ст + eD_n =0 (10)

Из (10) можно определить напряженность статического электри­ческого поля. Расчет E_ст проведем для случая малого уровня опти­ческого возбуждения, когда концентрация избыточных электронов мала по сравнению с равновесной, т. е. n n n₀. Используя соотношение Эйнштейна, будем иметь:

E _ст = -= --(11)

Продифференцировав (11), получим:

dE_ст /dx = - (12)

Величину dE_ст /dx можно найти, воспользовавшись уравнением Пуассона:

dE_ст /dx = (13)

где  = - еn — объемный заряд в неосвещенной части образца. Из равенств (12) и (13) следует, что

(14)

если ввести величину

(15)

то (13) запишется следующим образом:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Dn = C₁e^a1x + C₂e^a2x

где С₁ и С₂ — постоянные, определяемые из граничных условий; ₁, ₂ — корни характеристического уравнения, равные:

;

Для неосвещенной области полупроводника, в которой концен­трация избыточных электронов уменьшается по мере удаления от освещенной части образца, имеет смысл только член решения с отри­цательным показателем степени, поэтому

Dn = Dn(0)e^{-x / lэ} (16)

Таким образом, в случае монополярной проводимости концентра­ция избыточных носителей заряда в неосвещенной части образца по мере удаления от освещенной области уменьшается по экспонен­циальному закону с постоянной спада l_э, называемой радиусом (дли­ной) экранирования или дебаевским радиусом. Длина экранирования, как следует из (15), зависит от концентрации основных носителей заряда, поэтому ее значение может изменяться в широких пределах в зависимости от удельной проводимости полупроводника. Например, для невырожденных полупроводников, таких как германий и кремний, радиус экранирования в зависимости от степени легирования может составлять 10^-4 — 10^-6 см.

Объем­ный заряд, введенный в полупроводник, после выключения воз­буждающего света в результате тока проводимости существует в сред­нем в течение времени _, т. е.

=₀e^–t/

Если плотность объемного заряда поделить на единичный заряд, то получим изменение концентрации избыточных носителей заряда во времени:

n = n(0)e^–t/ (17)

Из сравнения (16) и (17) следует, что распространение носи­телей заряда в монополярном случае на расстояние длины экраниро­вания l_э осуществляется в течение максвелловского времени релак­сации _, которое в данном случае является эффективным временем установления диффузионно-дрейфового равновесия.