Курсовые / Статистика носителей в пп p-типа

Московский Институт Электронной Техники

( Технический Университет )

Курсовая работа по

Квантовой теории и

Статистической физике.

Тема: «Концентрация электронов и дырок в р-полупроводнике»

Выполнил: Клёпов А. С. Гр. ЭКТ-26

Проверила: Корнеева Б.М.

Москва 2004г.

Содержание.

Введение в полупроводники 3

Полупроводники. 3

Полупроводники и диэлектрики. 3

Свободный электрон. 5

Электрон в идеальном кристалле. 6

Решение уравнения Шредингера для идеального кристалла. Волна Блох 8

Квазиимпульс. Зоны бриллюэна. 9

Причины возникновения проводимости в собственном полупроводнике. 12

Понятие дырки. 13

Причины возникновения проводимости в акцепторном полупроводнике (р-типа 15

Принцип определения концентрации носителей заряда. 15

Плотность состояний. 16

Эффективная масса плотности состояний. 17

Функция распределения. 18

Концентрация электронов и дырок в зонах. 19

Закон действующих масс. 20

Электронейтральность полупроводника. 20

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике. 21

Положение уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. 22

Историческая справка. 23

Список используемой литературы. 24

Введение в полупроводники.

Полупроводники, широкий класс веществ, характеризующихся значениями электропроводности , промежуточными между электропроводностью металлов ( ~ 10⁶—10⁴ ом^-1 см^-1) и хороших диэлектриков (  10^-10—10^-12 ом^-1см^-1, электропроводность указана при комнатной температуре). Характерной особенностью полупроводников, отличающей их от металлов, является возрастание электропроводности  с ростом температуры, причём, как правило, в достаточно широком интервале температур возрастание происходит экспоненциально:

 = ₀ехр (-E_A/кТ).     (1)

Здесь k= (1,38054±0,00018)10^-23дж/К — Больцмана постоянная, E_А — энергия активации электронов в полупроводнике, (₀ — коэффициент пропорциональности (в действительности зависит от температуры, но медленнее, чем экспоненциальный множитель). С повышением температуры тепловое движение разрывает связи электронов, и часть их, пропорциональная exp (—E_A/kT), становится свободными носителями тока.

  Связь электронов может быть разорвана не только тепловым движением, но и различными внешними воздействиями: светом, потоком быстрых частиц, сильным электрическим полем и т.д. Поэтому для полупроводников характерна высокая чувствительность электропроводности к внешним воздействиям, а также к содержанию примесей и дефектов в кристаллах, поскольку во многих случаях энергия E_A для электронов, локализованных вблизи примесей или дефектов, существенно меньше, чем в идеальном кристалле данного полупроводника. Возможность в широких пределах управлять электропроводностью полупроводников изменением температуры, введением примесей и т.д. является основой их многочисленных и разнообразных применений.

Полупроводники и диэлектрики. Классификация полупроводников. Различие между полупроводниками и диэлектриками является скорее количественным, чем качественным. Формула (1) относится в равной мере и к диэлектрикам, электропроводность которых может стать заметной при высокой температуре. Точнее было бы говорить о полупроводниковом состоянии неметаллических веществ, не выделяя полупроводники в особый класс, а к истинным диэлектрикам относить лишь такие, у которых в силу больших значений E_A и малых s₀ электропроводность могла бы достигнуть заметных значений только при температурах, при которых они полностью испаряются.

Однако термин «полупроводник» часто понимают в более узком смысле, как совокупность нескольких наиболее типичных групп веществ, полупроводниковые свойства которых четко выражены уже при комнатной температуре (300 К). Примеры таких групп:

1) Элементы IV группы периодической системы элементов Менделеева германий и кремний, которые, как полупроводники пока наиболее полно изучены и широко применяются в полупроводниковой электронике. Атомы этих элементов, обладая 4 валентными электронами, образуют кристаллические решётки типа алмаза с ковалентной связью атомов. Сам алмаз также обладает свойствами полупроводников, однако, величина E_A для него значительно больше, чем у Ge и Si, и поэтому при Т = 300 К его собственная (не связанная с примесями или внешними воздействиями) электропроводность весьма мала.

2) Алмазоподобные полупроводники. К ним относятся соединения элементов III группы периодической системы (Al, Ga, In) с элементами V группы (Р, As, Sb), называются полупроводниками типа A^III B^V (GaAs, InSb, GaP, InP и т.п.). Атомы III группы имеют 3 валентных электрона, а V группы — 5, так что среднее число валентных электронов, приходящееся на 1 атом, в этих соединениях равно 4 (как и у Ge и Si). Каждый атом образует 4 валентные связи с ближайшими соседями, в результате чего получается кристаллическая решётка, подобная решётке алмаза с той лишь разницей, что ближайшие соседи атома A^III — атомы B^V а соседи атома B^V — атомы A^III. За счёт частичного перераспределения электронов атомы A^III и B^V в такой структуре оказываются разноимённо заряженными. Поэтому связи в кристаллах A^III B^V не полностью ковалентные, а частично ионные. Однако ковалентная связь в них преобладает и определяет структуру, в результате чего эти кристаллы по многим свойствам являются ближайшими аналогами Ge и Si.

Соединения элементов II и VI групп периодической системы — A^IIB^VI (ZnTe, ZnSe, CdTe, CdS и т.п.) также имеют в среднем 4 валентных электрона на 1 атом, но ионная связь у них более сильно выражена. У некоторых из них ковалентная связь преобладает над ионной, у других она слабее, но и те и другие обладают свойствами полупроводников, хотя и не столь ярко выраженными, как в предыдущих группах.

Представление о «средней четырёхвалентности» и «алмазоподобных» полупроводниках оказалось плодотворным для поиска новых полупроводников, например типа A^IIB^IVC₂^V (ZnSnP₂, CdGeAs₂ и т.п.). Многие из алмазоподобных полупроводников образуют сплавы, которые также являются полупроводниками, например Ge — Si, GaAs — GaP и др.

3) Элементы VI и V групп и их аналоги. Элементы VI группы Te и Se как полупроводники были известны раньше, чем Ge и Si, причём Se широко использовался в выпрямителях электрического тока и фотоэлементах. Элементы V группы As, Sb и Bi — полуметаллы, по свойствам близкие к полупроводникам, а их ближайшие аналоги — соединения типа A^IV и B^VI (PbS, PbTe, SnTe, GeTe и т.п.), имеющие в среднем по 5 валентных электронов на атом, образуют одну из наиболее важных групп полупроводников, известную в первую очередь применением PbS, PbSe и PbTe в качестве приёмников инфракрасного излучения. Вообще среди соединений элементов VI группы (О, S, Se, Te) с элементами I—V групп очень много полупроводников. Большинство из них мало изучены. Примером более изученных и практически используемых могут служить Cu₂O (купроксные выпрямители) и Bi₂Te₃ (термоэлементы).

4) Соединения элементов VI группы с переходными или редкоземельными металлами (Ti, V, Mn, Fe, Ni, Sm, Eu и т.п.). В этих полупроводниках преобладает ионная связь. Большинство из них обладает той или иной формой магнитного упорядочения (ферромагнетики или антиферромагнетики). Сочетание полупроводниковых и магнитных свойств и их взаимное влияние интересно как с теоретической точки зрения, так и для многих практических применений. Некоторые из них (V₂O₃, Fe₃O₄, NiS, EuO и др.) могут переходить из полупроводникового состояния в металлическое, причём превращение это происходит очень резко при изменении температуры.

Органические полупроводники. Многие органические соединения также обладают свойствами полупроводников. Их электропроводность, как правило, мала (s ~ 10^-10 ом^-1см^-1) и сильно возрастает под действием света. Однако некоторые органические полупроводники (кристаллы и полимеры на основе соединений тетрацианхинодиметана TCNQ, комплексы на основе фталоцианина, перилена, виолантрена и др.) имеют при комнатной температуре s, сравнимую с проводимостью хороших неорганических полупроводников.

Свободный электрон.

Рассмотрим свойства электрона, находящегося в свободном пространстве. Станционарное (не зависящее от времени) состояние электрона определяется его волновой функцией, координатная часть которой описывает пространственное распределение плотности электронного облака, причем квадрат модуля функции дает вероятность нахождения электрона в единичном объеме около точки с радиусом-вектором . Координатная часть волновой функции находится из решения станционарного уравнения Шредингера, которое в отсутствие внешних полей имеет вид:

(2)

где =1.054* Дж*с – модифицированная постоянная Планка (=h/2);

m =9.11* кг – масса свободного электрона; - оператор Лапласа;

Е – собственное значение энергии электрона.

Решением уравнения (2) является плоская волна с постоянной амплитудой А:

(3)

где - импульс электрона, - волновой вектор; i – мнимая единица.

Из выражения (3) видно, что для любого , то есть вероятность найти электрон в любой точке пространства неизменна. Это означает, что в свободном пространстве, где ВСЕ точки эквивалентны и внешних полей нет, электрон перемещается свободно.

Электрон в идеальном кристалле.

Идеальная кристаллическая решетка представляет собой бесконечную систему узлов, расположенных в пространстве строго периодично с периодом .

В результате взаимодействия соседних атомов энергетические барьеры для электронов уменьшились по высоте и приобрели конечную ширину.

В силу периодичности потенциального поля электрон должен с равной вероятностью обнаружиться около любого узла. Это означает, что он может свободно перемещаться по кристаллу без затрат энергии. Этот факт объясняется туннелированием электрона, связанным с перекрытием волновых функций.

Туннелирование является чисто квантовым эффектом и объясняется на основе решения уравнения Шредингера для электрона в потенциальной яме с барьерами конечной ширины и высоты.

Рассмотрим для простоты область одномерного пространства , в которой потенциальная энергия электрона постоянна и имеет величину .

Станционарное уравнение Шредингера имеет вид:

(4).

Решением уравнения (4) является сумма двух плоских волн. В одномерном случае это решение имеет вид:

(5).

Где .

Характер решения зависит от знака разности . В интересующем нас случае энергия электрона меньше высоты барьера () и физически допустимым решением является функция, убывающая по экспоненте в области барьера.

Таким образом, имеет место проникновение электрона в облать барьера, причем глубина проникновения возрастает с уменьшением высоты барьера. Если ширина барьера порядка величины , то существует конечная вероятность найти электрон по другую сторону барьера, что и соответствует явлению туннелирования.

U x

Распределение потенциальной энергии электрона в идеальном кристалле.

U

x

Потенциальная энергия электрона.

x

Волновая функция электрона в области барьера.

Решение уравнения Шредингера для идеального кристалла. Волна Блоха.

В кристалле поведение электронов определяется уравнением Шредингера, которое в станционарном случае имеет вид:

(6),

где - оператор Гамильтона; Е – собственные значения энергии принадлежащие собственным волновым функциям .

Оператор имеет сложный вид и включат в себя кинетическую энергию электронов, кинетическую энергию ядер, потенциальную энергию попарного взаимодействия электронов, потенциальную энергию попарного взаимодействия ядер, потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядрами. Таким образом, общее количество n независимых переменных в уравнении очень велико и составляет порадка для объема в 1 см.куб.

Путем ряда прибижений задача приводится к задаче о движении одного электронав периодическом потенциальном поле кристалла :

(7).

Здесь учтено, что массы электрона и атомного остатка существенно различны, то есть электроны фактически движутся в потенциальном поле неподвижных ионов (адиабатическое приближение). Кроме того, взаимное влияние электронов друг на друга представлено в виде так называемого самосогласованного поля, то есть каждый этектрон движеться в поле всех остальных электронов, которое, в свою очередь, зависит от движения данного электрона.

В уравнении (7) потенциальная энергия U(r) не зависит от спина электрона, поэтому каждому собственному значению энергии Е отвечают два состояния электрона.

Решением уравнения (7) является плоская волна, модулированная с париодом решетки, - функция или ВОЛНА БЛОХА:

(8), где - некоторая функция, периодическая с периодом решетки; - некоторый вектор, имеющий размерность обратной длинны. Вектор в уравнении (8) играет роль, аналогичную вектору в кравнении (3) и поэтому называеться КВАЗИВОЛНОВЫМ ВЕКТОРОМ.

Квазиимпульс. Зоны Бриллюэна.

Различие волновых функций свободного электрона и электрона в идеальном кристалле определяеться свойствами пространства, в котором находиться электрон.

В случае свободного электрона все точки пространства эквивалентны и амплитуда плоской волны постоянна.

В идеальном кристалле присутствует периодическое потенциальное поле и эквивалентны только точки, находящиеся на расстоянии периода решетки . При этом амплитуда волны (8) оказываеться модулированной с периодом решетки.

Свойства симметрии пространства приводят к повлению законов сохранения физических величин. Например, импульс частицы сохраняеться при движении в пространстве с постоянной потенциальной энергией, то есть закон сохранения импульса отражает однородность пространства.

Идеальная кристаллическая решетка не является однородной, но имеет трансляционную симметрию. Этой симметрии должна соответствовать некая физическая величина, сохраняющаяся при движении электрона в идеальном кристалле. По аналогии с обычным импульсом ее можно назвать квазиимпульсом и определить соотношением .

Рассмотрим движение электрона в идеальном кристалле при наличии постоянного электрического поля . Электрон можно представить как волновой пакет, составленный из функции Блоха (8). В этом случае его скорость распостранения равна групповой скорости пакета, определяемой как градиент частоты в k-пространстве:

(9).

Энергия электрона есть . Отсюда получаем:

(10).

Под действием силы Лоренца энергия электрона изменяеться, причем

(11).

Отсюда следует, что

(12).

Уравнение (12) по форме совпадает со вторым законом Ньютона. Принципиальные отличия заключаются в том, что в уравнении (12) - это не полная, а только внешняя сила, а - не импульс, а квазиимпульс электрона. Если рассматривать обычный импульс электрона , то его изменение должно определяться полной силой, действующей на электрон, то есть векторной суммой внешней силы и силы , действующей на электрон со стороны потенциального поля кристалла:

.

Так как поле кристалла не постоянное, а периодическое , то импульс электрона, в отличие от квазиимпульса, не сохраняется при движении в идеальном кристалле.

Из выражения (8) видно, что в кристалле значения квазиимпульса () и () (где i- целое число) эквивалентны.

Поскольку значения компонент квазиимпульса заданы с точностью до константы, все его различные значения оказываються заключенными в некоторых областях, называемых ЗОНАМИ БРИЛЛЮЭНА. Первая зона Бриллюэна, содержащая точку р=0, задается неравенствами:

;

;

.

Объем одной зоны Бриллюэна равен:

. (13)

Вводя характерный размер кристалла и используя периодические граничные условия , можно получить:

Таким образом, для квазиволнового вектора и квазиимпулься существуют дискретные значения. Однако , следовательно, этот спектр – квазинепрерывный. Полное количество значений каждой компоненты квазиимпульса составляет , где N – количество атомов вдоль одной стороны кристалла. Итак, число энергетических состояний в зоне Бриллюэна для кристалла кубической формы определяеться выражением:

(14).

Отсюда видно, что число состояний равно полному количеству атомов в кристалле, причем в каждом энергетическом состоянии могут находиться два электрона с разными спинами.

Если решить уравнение Шредингера (7) для периодически повторяющихся прямоугольных потенциальных барьеров, то получиться решение вида:

(15),

где , - потолок и дно i-ой разрешенной зоны энергии; - период решетки; знаки ‘+’и ‘-‘

чередуются для соседних зон.

Причины возникновения проводимости в собственном полупроводнике.

Рассмотрим проводимость собственного полупроводника, то есть полупроводника, содержащего атомы только одного типа и свободного от каких-либо примесей.

Энергия валентных электронов, образующих связи в кристалле полупроводника, лежит в валентной зоне.

При температуре Т=0 в зоне проводимости собственного полупроводника электроны полностью отсутствуют. Все электроны находятся в валентной зоне, которая оказывается полностью заполненой. Если говорить о структуре кристалла, то это означает, что все электроны учавствуют в образовании связей. При этом, как было показано выше, слабое электрическое поле не может вызвать электрический ток.

При увеличени температуры растет вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости. Этот переход соответствует разрыву связи в кристалле. При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и незаполненное состояние в валентной зоне, в результате чего может возникать проводимость как в зоне проводимости, так и в валентной зоне.