Московский Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Преподаватель: Корнеева Б.М

Студент: группа ЭКТ-24

Киреев А.М.

Москва 2006г.

Оглавление

ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Методы молекулярно-кинетической теории применяются и при объяснении природы теплоемкости твердого тела. Простейшей моделью кристаллического строения твердого тела является правильно построенная кристаллическая решетка, в узлах которой помещаются атомы, совершающие тепловые колебания около положений равновесия. Передача тепла твердому телу от другого тела или из окружающей среды заставляет эти атомы колебаться быстрее. Энергия колебаний атомов складывается из кинетической и потенциальной. Поскольку на каждую степень свободы атома приходится средняя энергия равная (1/2) kT, на одну колебательную степень свободы приходится энергия равная kT. Каждый атом обладает тремя колебательными степенями свободы, поэтому внутренняя энергия одного моля кристаллического твердого тела равна 3N_AkT, а соответствующая теплоемкость равна 3R. Равенство значений молярной теплоемкости при постоянном объеме для всех твердых тел подтверждается на опыте и носит название закона Дюлонга и Пти. Температурная зависимость теплоемкости при низких температурах и характер этой зависимости при стремлении температуры к абсолютному нулю объясняется квантовой теорией теплоемкости, которая была построена в работах Эйнштейна и Дебая.

Теплоемкостью называется количество теплоты , переданное твердому телу при бесконечно малом изменении его температуры, отнесенное к величине этого изменения

.

В случае твердого тела изменением его объема вследствие теплового расширения можно пренебречь, и на основании первого начала термодинамики записать , гдеU - внутренняя энергия кристалла. Тогда выражение для теплоемкости преобразуется к виду

.

Наряду с введенным выше представлением о теплоемкости используются понятия удельной, молярной и объемной теплоемкости. Удельной теплоемкостью называется теплоемкость единицы массы вещества, которую обычно обозначают как c, а теплоемкость единичного количества вещества, или молярную теплоемкость обозначают . Для наиболее часто встречающейся теплоемкости единицы объема везде будет использоваться обозначение(не путать с теплоемкостью при постоянном объеме).

Теплоемкость кристаллической решетки Модель независимых осцилляторов

В первых работах по теории теплоемкости кристаллов в качестве модели кристаллической решетки рассматривалась система из N независимых гармонических осцилляторов, колеблющихся относительно положений равновесия (узлов решетки) с одинаковой частотой. Термин независимые осцилляторы означает хаотическое распределение фазы колебаний ионов, т.е. отсутствие упорядоченных или волновых движений в кристалле. В действительности же каждый осциллятор (ион) может обмениваться энергией со всей системой осцилляторов, выполняющей по отношению к данному иону роль термостата. Таким образом, энергия отдельного осциллятора может отклоняться от средней величиныи с вероятностью

(1.1)

принимать любые значения из интервала . Здесь индекс- признак состояния осциллятора,, где- постоянная Больцмана,U - внутренняя энергия кристалла, а - статистическая сумма.

Исходя из представлений о кристалле как о системе независимых осцилляторов, легко найти его внутреннюю энергию. Для этого достаточно вычислить среднее значение энергии отдельного осциллятора, воспользовавшись формулой среднего значения непрерывно меняющейся случайной величины

. (1.2)

Поскольку , вероятность состояния, в котором энергия всего кристалла сосредоточилась бы в колебаниях одного атома, практически равна нулю. Другими словами, приподынтегральное выражение столь мало, что верхний предел интегрирования можно положить равным бесконечности. Смысл такой замены в том, что несобственный интеграл вычисляется гораздо легче, нежели определенный интеграл вида (1.2).

Первоначально будем считать, что осциллятор имеет одну степень свободы x. Выразив полную механическую энергию осциллятора через смещение от положения равновесия x и скорость как

, (1.3)

запишем выражение для средней энергии одного осциллятора

. (1.4)

Числитель (1.4) удобнее разбить на два интеграла - по x и по

. (1.5)

Вычисляя несобственные интегралы (см. Приложение 1), несложно видеть, что каждое из слагаемых (1.5) равно . Таким образом, средние значения кинетической и потенциальной энергии, приходящиеся на одну степень свободы линейного гармонического осциллятора, оказываются одинаковыми и равными. Тогда среднее значение энергии одного осциллятора можно записать как

, (1.6)

где s - число степеней свободы.

Чтобы получить выражение для внутренней энергии единицы объема (массы, количества вещества), (1.6) необходимо умножить на соответствующее число осцилляторов (в единице объема, массы, количества вещества и т.д.). Например, внутреннюю энергию моля найдем, умножив (1.6) на число Авогадро и на число степеней свободы иона в кристаллической решетке

, (1.7)

где . - универсальная газовая постоянная. Отсюда следует выражение для молярной теплоемкости гармонического кристалла при постоянном объеме

. (1.8)

Этот результат, известный как закон Дюлонга и Пти, для моноатомного кристалла обычно формулируют в виде .