Теория теплоемкости по Дебаю

Расхождение теории теплоемкости Эйнштейна с экспериментом в области низких температур - следствие чрезмерной идеализации модели кристаллической решетки. В рамках этой модели колебания отдельного иона полагаются независящими от колебаний ионов в соседних узлах решетки. В действительности же движение отдельного иона, приводящее к смещению соседних с ним ионов, вызывает отстающие по фазе колебания ближайших соседей, т.е. волны смещений.

Таким образом, колебания кристаллической решетки следует рассматривать как волновой процесс, амплитуда которого определяется средним числом элементарных возбуждений . Волны смещений могут распространяться в любых направлениях, а колебания ионов могут быть либо перпендикулярны к направлению волнового вектора, либо совпадать с ним. Следовательно, энергия элементарных возбужденийи их среднее числодолжны зависеть как от направления волнового вектора, так и от поляризации волны, признаком которой в данном случае служит индексs. При увеличении длины волны относительные смещения и силы парного взаимодействия соседних ионов убывают, следовательно, частота колебаний будет зависеть не только от направления, но и от модуля волнового вектора. Зависимость круговой частоты от волнового вектора в приближении гармонического кристалла рассматривается в следующем параграфе.

Нормальные моды одномерной моноатомной решетки Бравэ

Нормальными модами или нормальными колебаниями называются собственные гармонические колебания линейных консервативных динамических систем с постоянными параметрами. Каждая нормальная мода характеризуется определенным значением частоты, с которой осциллируют все элементы системы, и распределением амплитуд и фаз колебаний по элементам системы.

Совокупность нормальных мод обладает свойством полноты, в том смысле, что произвольное свободное движение колебательной системы может быть представлено в виде суперпозиции нормальных мод. При этом полная энергия движения распадается на сумму парциальных энергий, запасенных в каждой нормальной моде. Таким образом, система из N элементов ведет себя как набор 3N независимых гармонических осцилляторов, которые при описании движения системы в целом могут быть выбраны в качестве обобщенных координат.

Рассмотрим цепочку из N ионов (рис. 1.3), расположенных вдоль прямой на расстоянии a друг от друга. В состоянии равновесия ионы находятся в узлах кристаллической решетки, характеризуемых минимальным значением потенциальной энергии взаимодействия каждого иона с одним из его ближайших соседей u и минимумом потенциальной энергии U кристалла в целом. Предположим, что один из ионов смещен из положения равновесия на величину x. Тогда на него будет действовать сила, направленная к положению равновесия и равная . Неизвестную функциюв случае малых смещений можно разложить в ряд Маклорена по степенямx, ограничившись членами второго порядка малости

. (1.22)

Рис. 1.3

Модель одномерной решетки Бравэ, в которой силы упругого взаимодействия связывают лишь ближайших соседей.

Поскольку потенциальная энергия всегда определена лишь с точностью до постоянной, а начало отсчета можно поместить в точку минимума потенциальной энергии, два первых слагаемых в правой части (1.22) всегда можно положить равными нулю. Тогда выражение для возвращающей силы будет иметь вид упругого взаимодействия

, (1.23)

где . Потенциал вида (1.22) называют гармоническим, силу (1.23) - квазиупругой, а отброшенные, нелинейные поx члены - ангармоническими. По аналогии с упругой силой постоянную K будем называть жесткостью связи.

Обозначив смещение иона в n-ом узле одномерной кристаллической решетки как , несложно вычислить гармоническую составляющую потенциальной энергии взаимодействия всего кристалла

. (1.24)

Исходя из второго закона Ньютона, запишем уравнение движения n-ого иона

, (1.25)

которое дополним периодическим граничным условием

. (1.26)

Оно означает, что смещение последнего иона в цепочке совпадает со смещением первого иона.

Волновые решения задачи (1.25), (1.26) будем искать в виде бегущей волны

. (1.27)

Подстановка (1.27) в (1.25) после сокращения на экспоненту приводит к соотношению

. (1.28)

Разрешив (1.28) относительно круговой частоты, найдем закон дисперсии колебаний одномерной кристаллической решетки

. (1.29)

Чтобы полностью определить нормальные моды одномерной решетки Бравэ, необходимо найти спектр волновых чисел и сопоставить им частоты и амплитуды колебаний. Спектр волновых чисел найдем, удовлетворяя граничному условию (1.26), которое после подстановки в него (1.27) преобразуется в

. (1.30)

Условие (1.30) выполняется только в случае если , откуда выводим, гдеL - длина цепочки ионов, . Каждому из этих значений волнового вектора соответствует определенная частота, которая задается дисперсионным соотношением (1.29). Что касается амплитуды колебаний, то вместо нее обычно указывают энергию нормальной моды или, что то же самое, средние число элементарных возбуждений

. (1.31)

Согласно определению обратной решетки, ее период для одномерной прямой решетки с периодом a составляет . Первая зона Бриллюэна, если ее строить как ячейку Вигнера-Зейтца в одномерномk-пространстве, будет иметь вид отрезка . Все волновые числа соответствующих колебательных состояний кристалла, о которых далее будем говорить как онормальных модах, принадлежат этому отрезку. В случае одномерной зоны Бриллюэна удобно изображать нормальные моды в виде дисперсионных кривых, откладывая по оси абсцисс волновые числа, а по оси ординат - круговые частоты. При этом для отрицательных значений аргумента в выражении (1.29) следует взять знак минус, а для положительных - плюс.

Рис. 1.4

Дисперсионная кривая одномерной моноатомной решетки Бравэ с упругим взаимодействием только между ближайшими соседями.

Дисперсионная кривая одномерной решетки Бравэ представлена на рис. 1.4. В области малых значений волнового вектора (или длинных волн) соседние ионы движутся в одной фазе, поэтому их относительные смещения и силы парного взаимодействия невелики, а частота колебаний мала. Для этой области характерно совпадение фазовой скорости и групповой скорости, которые приближенно равны

. (1.32)

При увеличении волнового числа скорости убывают, причем на границе зоны Бриллюэна групповая скорость обращается в ноль, а фазовая скорость принимает значение

. (1.33)