Курсовые / Квантовая теория синхротронного излучения

- 28 -

Содержание:

Квантовая теория синхротронного излучения заряженных частиц.

1. Постановка задачи………………………………………………………..............стр.5

2. Квантовые состояния электрона в магнитном поле. Волновая функция…......стр.9

3. Разделение решений уравнения Дирака по спиновым состояниям. Операторы поляризации.....……………………………………………………………………..стр.13

4. Взаимодействие электрона с полем излучения. Квантовые закономерности в интенсивности СИ……………………………………………………………….…стр.20

5. Список используемой литературы……………………………………………..стр.30

Квантовая теория синхротронного излучения

заряженных частиц.

Введение

Синхротронное излучение (СИ) – одно из замечательных явлений современной физики – впервые наблюдалось 60 лет назад при движении электронов в циклическом ускорителе – синхротроне.

Природа СИ связана с испусканием электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом. Как известно, в циклическом электронном ускорителе заряд движется по окружности в магнитном поле, практически однородном вдоль траектории частицы. В этих условиях релятивистский электрон, обладая большим центростремительным ускорением, становится источником мощного электромагнитного излучения.

Нужно заметить, что в литературе можно также встретить название «магнитотромозное» излучение. Этот термин, однако, чаще применяется при рассмотрении астрофизических задач.

Проблема излучения релятивистского заряда, движущегося по окружности, рассматривалась методами классической электродинамики Максвелла-Лоренца еще в конце XIX в.Задача об излучении ускоренно движущегося заряда вновь привлекла к себе внимание исследователей в связи с развитием физики космических лучей. Также интерес к задаче об излучении электронов в магнитном поле был связан с весьма бурным развитием техники циклических ускорителей.

Вначале СИ рассматривалась как отрицательное явление, мешающее нормальной работе циклического ускорителя. Однако установление радиационного предела работы бетатрона стимулировало не только переход к новым, более современным методам ускорения электронов, но и инициировало появление большого числа работ, посвященных синхротронному излучению как новому физическому явлению.

Так начался второй этап исследований, связанных с изучением физических свойств самого СИ методами классической и квантовой теории, а также с экспериментальной проверки этих свойств, часто неожиданных и удивительных.

Были открыты важные закономерности, свойственные излучению ультрарелятивистского электрона. Было установлено, что излучение, испускаемое электроном, сосредоточено в узком конусе вокруг мгновенного направления скорости частицы и направлено вперед по её движению. Необычным оказался и спектральный состав излучения. Спектральная кривая СИ напоминает спектр энергии излучения абсолютно черного тела. Излучение электронов с энергией 1 ГэВ эквивалентно в этом случае излучению абсолютно черного тела при эффективной температуре К.

При определенных значениях энергии максимум мощности излучения может попасть в область видимого света. Электрон в этом случае становится светящимся в буквальном смысле этого слова.

Близко к синхротронному излучению примыкает так называемое ондуляторное излучение (ОИ) – спонтанное излучение электронов при их движении в периодическом внешнем поле, вызывающем отклонение частиц на малые углы. На это излучение впервые обратил внимание В.Л.Гинзбург в связи с поисками источников излучения в микроволновом диапазоне.

В отличие от СИ ондуляторное излучение характерно формированием на всей территории движения частицы, и в силу этого оно обладает рядом особенностей.

Интересным оказался вопрос о возможности проявления квантовых эффектов в СИ, которое с момента его открытия считалось сугубо классическим явлением. Развитие квантовой теории СИ на основе применения точных решений уравнения Дирака для электрона в магнитном поле и методов квантовой электродинамики позволило в 1952 г. впервые получить точное выражение для мощности излучения в квантовой теории.

Дальнейшие исследования по квантовой теории СИ касались вопросов влияния дискретного характера испускания фотонов на траекторию движения электрона в магнитном поле.

Таким образом, исследованное вначале как «помеха» в работе циклического ускорителя – бетатрона синхротронное излучение сказалось весьма интересным с точки зрения не только специфических свойств, но также и реализации этих свойств в практическом приложении.

СИ оказывается осень удобным для применения в рентгеновской литографии. Успешное развитие этого направления в технике оказывает непосредственное влияние на разработку и производство приборов микроэлектроники – технологии будущего.

Таким образом физика синхротронного излучения стала в наши дни новым самостоятельным и очень перспективным научным направлением.

Постановка задачи

Исследование квантовых свойств СИ оказалось весьма интересным с точки зрения развития

квантовой теории макроскопического движения и привело к открытию принципиальных, порою неожиданных эффектов, имеющих фундаментальное теоретическое и практическое значение.

Первоначальные соображения о возможности проявления квантовых эффектов в СИ были неочевидными: СИ в своих главных чертах хорошо описывались методами классической электродинамики Максвелла- Лоренца, и основные выводы этой теории с большой степенью надежности были подтверждены экспериментально. Так что необходимость исследования квантовых закономерностей СИ – дискретных свойств макроскопического явления – представлялась спорной.

Действительно, обычный критерий применимости классических методов описания излучения релятивистского заряда заключается в том, что энергия испускаемого фотона Eф должна быть мала по сравнению с энергией электрона

E. При этом, как указали В.В.Владимирский и Швингер, квантовые эффекты могут проявляться только в том случае, если эти величины станут соизмеримы:

Eф

Таким образом, условием возможности классического описания СИ был критерий:

Этот критерий подтверждался также соображениями инвариантности, в силу чего мощность синхротронного излучения, будучи инвариантной, должна зависеть только от инвариантных параметров, одним из которых является:

Где == 4,41*Гс -- швингеровское значение магнитного поля; -- тензор электромагнитного поля; -- четырехмерный вектор – импульс электрона. Оценка энергии, определяемой критерием , для реальных параметров ускорителей приводит к значению эВ, чтоб далеко превосходит энергию частиц не только в действующих, но также и в планируемых на обозримое будущее ускорителях.

Вместе с тем оказалось, что критерий не вскрывает всех особенностей, связанных с дискретными свойствами СИ, и прежде всего это касается проблемы влияния дискретности излучения на движение частицы. Действительно, поскольку энергия излучаемого фотона в максимуме спектра СИ достаточно велика Eф,

число таких фотонов, излучаемых за время одного оборота электрона , конечно и равно:

Для более наглядной оценки фактора дискретности излучения можно найти длину пути (в сантиметрах ), проходимого электроном без испускания высокоэнергетических фотонов,

Как видно, это выражение зависит только от напряженности магнитного поля , и при обычных значениях (для ускорителей и накопительных колец) порядка Гс следует, что в среднем один высокоэнергетический фотон излучается на пути 30 см.

Дискретность излучения, выступающая здесь как важный фактор, может сказаться на траектории частицы, вызывая её квантовые флуктуации как следствие эффекта отдачи, испытываемой электроном при испускании им фотонов.

Для определения критерия возбуждения квантовых флуктуаций траектории электрона рассмотрим выражение для его энергетического спектра в постоянном однородном магнитном поле, направленном по оси , а также:

Здесь орбитальное квантовое число соответствует квантованию вращательного движения частицы, а -- радиальное число, имеющее связь с флуктуацией радиуса орбиты вращения :

.

Возбуждение квантовых флуктуаций траектории влечет за собой флуктуации энергии частицы

Поэтому критерий возникновения таких флуктуаций можно установить исходя из условия

Для критического значения энергии, при котором становится возможным возбуждение радиальных степеней свободы (появление числа ) , следует (при ), что

.

Это соответствует энергии электрона 500-1000 МэВ, т.е. области энергий действующих ускорителей и накопительных колец. Критерий как условие возбуждения радиальных степеней свободы электрона был впервые указан А.А.Соколовым в 1949 г.,который положил начало развитию квантовой теории синхротронного излучения.

Таким образом, критическое значение энергии электрона () устанавливает пределы применимости классической теории излучения, а () соответствует проявлению квантовых эффектов, связанных с влиянием дискретности СИ на траекторию движения частицы. Критерий выделяет по существу «квазиквантовую» область энергий: классическое описание излучения уже еще остается справедливым, однако дискретный характер излучения уже начинает проявляться в виде квантовых флуктуаций траектории электрона.

Последовательное развитие квантовой теории СИ подтвердило оба критерия ( и ) и дало возможность выявить физическое содержание квантовых закономерностей в условиях макроскопического движения.

С одной стороны, строгими методами квантовой теории было установлено, в частности, что квантовые поправки к классическому выражению для мощности синхротронного излучения имеют характер разложения по параметру

в предположении его малости, т.е. при условии «. При классическая теория изучения становиться полностью неприменимой.

С другой стороны, более детальный анализ квантовых свойств синхротронного излучения показал, что начиная с энергий возникает особое квантовое явление (не свойственное классической теории): флуктуации радиуса орбиты электрона – квантовое уширение траектории. При этом электрон движется подобно Броуновской частице, испытывая стохастические воздействия при испускании фотонов.

Большой интерес развитие квантовой теории СИ представляло в связи с задачей изучения поведения спина электрона в условиях высоких энергий частиц.

Развитие квантовой теории СИ с учетом спиновых свойств электрона привело к открытию эффекта радиационной поляризации электронов и позитронов в накопительных кольцах. Вследствие этого эффекта неполяризованный вначале пучок электронов по причине синхротронного излучения приобретает преимущественную ориентацию спина против направления магнитного поля. Ориентация спинов позитронов оказывается противоположной.

Развитие квантовой теории макроскопического движения открывает также возможность исследования состояний электрона в магнитном поле в экстремальных условия, когда напряженность поля достигает очень больших значений – порядка швингеровского поля Гс. Это представляет особый интерес в решении ряда задач астрофизики в связи с тем, что подобные магнитные поля существуют вблизи нейтронных звезд – пульсаров. Изучение поведения вещества в этих условиях возможно только методами квантовой теории.

Приведенные здесь соображения легли в основу построения квантовой теории движения и излучения электронов в магнитном поле.

Развитие квантовой теории СИ целесообразно проводить на основе квантовой релятивистской механики и квантовой электродинамики, применяя так называемый метод точных решений уравнения Дирака. В соответствии с этим методом волновая функция, описывающая квантовые состояния электрона, подчинена уравнению Дирака

,

где -- кинетический импульс; и относятся соответственно к внешнему электромагнитному полю(, ) и квантовому поперечному полю излучения ().

Обычная теория возмущений, предполагающая путь решения уравнения Дирака в виде разложения волновой функции в ряд по внешнему полю (, ), здесь не применима, так как эффекты, связанные с внешним полем (в особенности в случае сильного поля), могут быть существенно нелинейными. Вместе с тем процессы, происходящие с электроном в связанном состоянии при его взаимодействии с электромагнитным полем излучения (константа взаимодействия ), можно при этом рассматривать по теории возмущений, имея в виду точное определение волновой функции «нулевого» приближения в связанном состоянии. Таким образом, в уравнении Дирака внешнее электромагнитное поле , учитывает точно, а квантованное поле излучения -- по теории возмущений.

При таком подходе все разложения в теории возмущений производят по полной системе волновых функций , являющихся точными решениями уравнения Дирака для электрона в связанном состоянии. Впервые в задаче о синхротронном излучении этот метод был предложен А.А.Соколовым. Позже метод точных решений получил название картины Фарри, который показал, что формализм Фейнмана – Дайсона можно обобщить на случай, когда электрон не свободен, а находится в связанном состоянии.

Метод точных решений дает возможность учесть любые значения напряженности внешнего поля. В частности, в случае магнитного поля в силу устойчивости вакуума допустимо рассматривать даже значения напряженности поля большие критического значения Гс, существующие, по-видимому, в глубине пульсаров.

В магнитном поле сколь угодно большой напряженности рождение электрон-позитронных пар из вакуума не происходит и метод точных решений не имеет огрничений, связанных с напряженностью магнитного поля .

Квантовые состояния электрона в магнитном поле.

Волновая функция.

Рассмотрим волновую функцию электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле, которое для определенности будем полагать направленным по оси цилиндрической системы координат. Тогда вектор-потенциал постоянного магнитного поля выберем в виде

При этом

,

И гамильтониан уравнения Дирака имеет выражение

Заряд электрона в дельнейшем полагаем , где .

Как известно, для определения состояний электрона необходимо задание четырех квантовых чисел -- трех, соответствующих движению в пространстве, и четвертого, определяющего внутреннюю степень свободы электрона, т.е. связанного со спином. Таким образом, для полного набора , характеризующего квантовое состояние частицы, нам необходимо выбрать четыре оператора, каждый из которых коммутирует с гамильтонианом и является интегралом движения. При этом все эти операторы будут иметь общую для них волновую функцию.

В рассматриваемой задаче о движении электрона в магнитном поле можно потребовать, чтобы волновая функция была собственной для следующих операторов:

1) энергии

2) проекции импульса на направление магнитного поля

3) проекции полного момента количества движения на направление поля

Для определения спинового состояния, т.е. разделения решений уравнения Дирака по спину, необходим четвертый оператор, коммутирующий с гамильтонианом, -- оператор поляризации. Но пока ограничимся рассмотрением решений уравнения Дирака без их разбиения по спину.

В рассматриваемой стационарной задаче переменные в уравнении Дирака разделяются и волновую функцию можно представить в виде

где -- энергия электрона; -- импульс частицы, характеризующий движение вдоль магнитного поля; -- азимутальное квантовое число; -- длина периодичности. Детали вычисления матрицы опускаются, результат вычисления записывается в виде функции Лагерра

)

где -- полином Лагерра,

-- главное или энергетическое квантовое число, ; -- радиальное число. Оба квантовых числа и принимают целые положительные значения. При этом матрица имеет вид

В этом выражении коэффициенты связаны уравнением Дирака:

(1)

и условием нормировки ; конкретный вид этих коэффициентов зависит от выбора оператора поляризации – четвертого оператора, определяющего квантовое состояние электрона. К этому вопросу будут даны пояснения ниже.

Спектр энергии электрона

(2)

определяется главным квантовым числом и импульсом вдоль направления магнитного поля , принимающего непрерывные значения. В случае макроскопического движения электрона главное квантовое число принимает очень большие значения и спектр энергии является квазинепрерывным. В нерелятивистском приближении квантование периодического движения в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю , переходит в эквидистантный спектр (уровни Ландау)

где -- циклотронная частота.

Иное положение в случае сильных магнитных полей. Преобразуем выражение для энергии (1) к несколько другому виду и предположим, что движение вдоль поля отсутствует. Тогда получим выражение

,

Из которого видно, что при движение даже на низких уровнях () становится релятивистским, а спектр энергии существенно дискретным.

Рассмотри подробнее физический смысл квантовых чисел, для этого найдем с помощью волновой функции квадратичную флуктуацию радиуса

;

(3)

Вводя далее по общим правилам квадратичную флуктуацию радиуса (дисперсию), находим, что её значение определятся радиальным квантовым числом

(4)

Дадим теперь классическую интерпретацию полученных выводов. Как известно, в случае движения электрона в плоскости орбиты вращения энергия частицы и радиус орбиты связаны соотношением

Чтобы установить связь радиуса с квантовыми числами, рассмотрим движение электрона по окружности радиусом , центр которой не совпадает с началом координат. Пусть расстояние от центра окружности до центра координат равно (рис.1). Тогда среднее по углу значение квадрата радиуса будет равно:

Сравнивая это выражение с (3), находим, что

(5)

Рис.1

т.е. радиус определяется главным квантовым числом, а радиальное квантовое число характеризует расстояние центра траектории от начала координат.