Московский Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Баскаков И. А.

Курсовая работа

По теме:

Реологические свойства однородных мелкодисперсных суспензий.

Москва 2004

Содержание.

1. Введение.

2. Свойства и вывод уравнений сохранения для монодисперсных сред.

3. Эффекты, связанные с относительным движением фаз.

4. Полидисперсные среды.

5. Применение веществ с улучшенными реологическими свойствами.

6. Литература.

Введение.

В приложениях квантовой теории и статистической физики дисперсных сред весьма обычна ситуация, когда характерный пространственный масштаб среднего движения дисперсной среды намного больше ее внутреннего структурного масштаба, так что при описании такого движения естественно использовать методы механики сплошных сред. В этом случае возникают две фундаментальные задачи: получить уравнения сохранения, описывающие средние течения фаз среды, и сформулировать замыкающие их реологические соотношения. В связи с широким распространением дисперсных сред в различных областях практической деятельности обе эти задачи рассматривались в очень большом числе работ с применением различных теоретических и экспериментальных методов для сред самых разных типов.

Для систем, состоящих из непрерывной фазы и распределенных в ней дискретных элементов дисперсной фазы, первая задача была формально решена при помощи развитого метода усреднения локальных уравнений сохранения, справедливых внутри материалов фаз, по ансамблю допустимых конфигураций частиц дисперсной фазы. Был указан также принципиальный метод решения второй основной задачи, однако конкретно она была исследована лишь для стационарных потоков монодисперсной среды с мелкими сферическими частицами в случае, когда их объемная концентрация не слишком высока, так что при усреднении по ансамблю можно пренебречь в первом приближении непрекрываемостью твердых сфер. При этом суспензия рассматривалась как макроскопически однородная "односкоростная" среда. Аналогичные задачи для процесса тепло- или массообмена в зернистой среде также были рассмотрены.

Ниже также исследуем умеренно концентрированную суспензию, которую считаем макроскопически однородной в том смысле, что пространственный масштаб величин, определяющих объемную концентрацию и гранулометрический состав дисперсной фазы, значительно больше масштаба средних скоростей фаз и других динамических переменных. Однако используется двухскоростное приближение - проводится различие между скоростями фаз и в явном виде исследуется не только уравнение движения суспензии в целом, но и ее фаз по отдельности. Частицы предполагаются сферическими, причем число Рейнольдса для любой сферы считается малым. Последнее позволяет не только пренебречь инерционными эффектами при анализе относительного движения фаз, но и не учитывать появляющихся в уравнениях движения в членов, обусловленных случайными пульсациями фаз и возможностью трансформации кинетической энергии вращения частиц в энергию поступательного движения. В этом случае указанные уравнения расщепляются - при исследовании среднего движения суспензии нет необходимости рассматривать уравнения сохранения среднего момента импульса ее фаз. На систему действуют внешние массовые силы с потенциалом , но внешние пары сил предполагаются отсутствующими.

Свойства и вывод уравнений сохранения для монодисперсных сред.

Рассмотрим сначала монодисперсную суспензию. В принятых предположениях стационарные уравнения сохранения импульса и массы суспензии в целом и ее дисперсной фазы запишутся в лабораторной системе координат r в следующем виде (1), (2):

(1)

Здесь введены средние плотность и ускорение суспензии:

(2)

А и представляют собой эффективный тензор средних напряжений и среднюю силу межфазового взаимодействия на единицу объёма суспензии, которые формально выражаются в виде:

(3)

Где - тензор средних напряжений, действующих на поверхности одиночной частицы суспензии (начало конвективной системы координат x выбрано в центре этой частицы), а e – тензор средних скоростей деформации в потоке суспензии. Уравнения сохранения массы и импульса непрерывной фазы представляют собой разности соответствующих уравнений в (1) для суспензии в целом и для ее дисперсной фазы.

Для определения тензора имеется специальная задача об обтекании пробной частицы двухфазовой дисперсной средой, свойства которой на удалении от поверхности частицы совпадают со свойствами суспензии, но не однородны в слое, примыкающем к этой поверхности. Для умеренно концентрированных суспензий существованием этого слоя можно вообще пренебречь, что соответствует пренебрежению эффектом непрекрываемости частиц при определении ансамбля их конфигураций (1),(2). Чтобы сформулировать указанную задачу, запишем уравнения движения (1) в конвективной системе координат:

(4)

Причем член с отражает появление инерционной силы в этой координатной системе и вычисляется для точки , связанной с центром пробной частицы. При записи (4) пренебрегли инерционными эффектами, связанными с относительным движением фаз.

Ввиду линейности уравнений (4) можно принять (1),(2)

, . (5)

Здесь и ( ) – некоторые неизвестные коэффициенты, которые определяются апостериори из условия согласованности теории, а именно из условия совпадения выражений (5) с соотношениями, следующими из (3) после решения задачи о пробной частице и вычисления интегралов в (3) на основе этого решения. Подчеркнем, что касательные напряжения в суспензии рассматриваются здесь в обычном и для механики однородных жидких сред приближении, когда учитываются только вклады в эти напряжения, пропорциональные первым степеням производных первого порядка от компонент скорости по координатам [4]. Поэтому условие совпадения напряжений из (3) и (5) понимается лишь с точностью до членов именно такого типа, а условие совпадения выражений для силы – с точностью до членов, линейных по производным второго порядка (действительно, из уравнений (4) ясно, что одинаковы порядки компонент векторов f и ).

Из (4), (5) и граничных условий прилипания на поверхности пробной частицы имеем следующую задачу об её обтекании:

(6) , , .

На бесконечном удалении от частицы возмущенные скорость и давление непрерывной фазы должны переходить в соответствующие невозмущенные величины и («бесконечность» понимается здесь в смысле метода сращиваемых асимптотических разложений). Решение задачи (6) легко выразить при произвольных и , удовлетворяющих уравнениям (4), в виде рядов по базисным функциям, построенным на сферических гармониках (см., например, (5,6)); здесь используем решения в форме, полученной в работе (7) где были вычислены так же некоторые важные интегралы по поверхности пробной частицы.

Используя результаты (7) и определяя в соответствии с соотношением для в (5), для величины в (3) имеем:

, (7)

причем последний член при определении должен быть отброшен, чтобы не допустить превышения точности (см. замечание выше). Аналогично из (3) после интегрирования (7) имеем:

(8)

что приводит (после сравнения с 5) к равенствам:

(9)

Далее, из уравнения сохранения импульса дисперсной фазы в (4) с учетом выражения для силы в (8) и (9) получаем

(10)

откуда с точностью до высших производных скорости имеем

(11)

(порядок членов, возникающих при дифференцировании (10), легко оценить, используя уравнения (4)).

Учитывая (7) и (11) и сравнивая выражения для в (3) и (5), получаем формулу для эффективной вязкости суспензии

(12)

Как и следовало ожидать, эта величина совпадает с определенной на основании односкоростной модели.

Соотношения (5), (9) и (12) замыкают систему уравнений (1) или (4) для макроскопически однородных суспензий одинаковых мелких сфер. В соответствии с (11) тензор скоростей деформации суспензии может быть отожествлён с таковым для непрерывной или дисперсной фаз (так что и в (5) можно заменить на и ), относительная скорость в конвективной системе координат совпадает, очевидно, со скоростью в лабораторной системе, а пространственные производные скоростей в обеих координатных системах одни и те же.

Сравнение формулы (12) с экспериментальными данными проиллюстрировано на рис.1 Опыты были выбраны для сравнения потому, что они обычно используются при проверке большинства предлагаемых эмперических и других формул, опыты – ввиду очень чистых условий, в которых они производились. При этом на рис.1 показаны лишь результаты экспериментов для суспензии частиц полиметилметакрилата в водных растворах глицерина, полученные на ротационном вискозиметре. В этих эксперимента гарантировались как устойчивость суспензии (агрегаты частиц не образовывались), так и отсутствие структурообразования (характерного, например, для течений в капиллярном вискозиметре). Видно, что теория, развитая для умеренно концентрированных суспензий, приводит к вполне удовлетворительным результатам вплоть до объемной концентрации частиц, равной 20-25%. На рис.1 приведены также кривые, соответствующие известной формуле Эйнштейна.