Курсовые / Акустические пр-сы в кристаллах

Московский институт электронной техники.

Кафедра КФН.

Данильченкова Ольга Анатольевна.

Курсовая работа по курсу:

Квантовая теория и статистическая физика.

Москва, 2004.

К феноменологической теории акустической активности кристаллов.

Рассмотрено влияние пространственной дисперсии на распространение звука в К кристаллах, обладающих пьезоэлектрическим эффектом .Приведено уравнение Кристоффеля(дисперсионное уравнение).Показано, что пьезоэлектрический эффект и его пространственная дисперсия не оказывает влияние на вращение плоскости поляризации поперечных звуковых волн, распространяющихся вдоль осей симметрии третьего или более высоко порядка(если таковые есть в кристалле), но должны приниматься во внимание, когда направление распространения звука совпадает со случайной акустической осью.

Акустической активности( влиянию пространственной дисперсии на распространение звука)посвящен в настоящее время целый ряд работ(см.(1-4) и цитированную там литературу).Имеются уже и экспериментальные данные (для кварца(3). Акустическая активность, как и естественная оптическая активность, наблюдается в средах, не обладающих центром симметрии. О телах с отличным от нуля тензором говорят, что они обладают естественной оптической активностью или естественной гиротропией. Таким образом, существование оптической активности во всяком случае требует отсутствия у тела центра симметрии. Естественная активность исключается наличием центра симметрии, но она возможна при существовании плоскости симметрии или зеркально-поворотной оси. Подчеркнем, что условия существования естественной активности у кристаллов не совпадают, след. с условиями допускающими существование кристаллов в двух зеркально-изомерных формах, последние является более жесткими и требуют отсутствия не только центра симметрии, но и плоскостей симметрии. Кристалл может быть оптически активным и в то же время совпадать со своим зеркальным изображением. Поскольку в нецентросимметричных кристаллах часто имеет место пьезоэлектрический эффект(Под действием механического напряжения или деформации в кристалле возникает электрическая поляризация, величина и знак которой зависят от приложенного напряжения. Это явление называют пьезоэлектрическим эффектом. Обратный пьезоэлектрический эффект-это механическая деформация кристалла, вызываемая приложенная электрическим полем , причем величина и тип деформации зависят от величины и знака поля. Кристаллы, обладающие пьезоэлектрическим эффектом,применяют в качестве преобразователей электрической энергии в механическую и обратно. При пьезоэлектрическом эффекте возникшее в кристаллах электрическое поле можно охарактеризовать вектором электрической поляризации Р, вектором электростатического смещения D или вектором Е, а действующее на кристалл механическое усилие- тензоро механической деформации E_ij) оказывающий влияние на распространение звука, его целесообразно сразу учесть при рассмотрении акустической активности .Такой подход к задаче осуществил Миндлин и Тоупин ( 4).Однако в их работе учтены не все феноменологические коэффициенты, которые следует принять во внимание в данном случае. Более подробное рассмотрение проводится в настоящей работе, причем мы учитываем также возможность поглощения и частотной дисперсии звука.

звуковая волна в пьезоэлектрическом кристалле кристалле сопровождается возникновением в нем электрического поля ,которое в свою очередь оказывает влияние на динамику колебаний. Поэтому величины, которые нам надлежит рассматривать, -это векторы электрического поля Е_i и электрической индукции D_i, а также тензор напряжений Gji и тензор деформации Uji . Соотношения между ними с учетом пространственной и частотной дисперсии могут быть записаны так

(1)

(2)

Значок ^ над тензором означает, что их следует рассматривать как операторы, учитывающие запаздывание(5).Если в правых частях (1) и (2) отбросить слагаемые с производными напряженности электрического поля и тензора деформаций, то получается обычные уравнения, описывающие связь между D и и и E с помощью тензора модулей упругости, тензора диэлектрической проницаемости и тензора пьезоэлектрических коэффициентов . В отличии от обычного определения тензора(2) мы учитываем возможное запаздывание реакции среды на переменное воздействие и тем самым- частотную дисперсию и поглощение звука.

Скалярные величины (тензоры нулевого ранга ) не меняются при переходе от одной системы координат к другой. Из-за симметрии кристаллов часть компонент тензора, описывающее какое-либо из его физических свойств, может оказаться равной нулю. Часть независимых компонент в таком тензоре всегда тем меньше , чем выше симметрия кристалла.Чтоб измерить тензорное свойство кристалла , в общем случае надо сделать столько независимых измерений, сколько имеется независимых компонент в тензоре этого свойства. Для свойств описываемых, тензором высшего ранга, задача была бы неразрешимо трудной , если бы не симметрия кристалла, из-за нее многие компоненты тензоров оказываются равными друг другу или обращаются в нуль. В тензоре четвертого ранга имеется независимая компонента , примером могут служить упругие константы кристалла , составляют тензор четвертого ранга. Нелинейные упругие константы выражаются тензором шестого ранга.

-записываются с помощью сокращенных матричных обозначений. Для того чтобы поводить тензорные преобразования , нужно сначала перейти от сокращенной, матричной записи к записи тензора.

-d_ijk- тензор третьего ранга-тензор пьезоэлектрических модулей.

Тензоры описывают пространственную дисперсию _{модулей} упругости, диэлектрической проницаемости и пьезоэлектрических коэффициентов соответственно. Пространственная дисперсия учитывается лишь в первом приближении по параметру - величине соотношения межатомного расстояния к длине волны звука, - и поэтому в правых частях (1) и (2) фигурируют только первые производные U_pq и E_p по координатам.

Как обычно, в задачах с учетом дисперсии удобно перейти к разложению рассматриваемых величин на плоские волны. Пусть зависимость от координат и времени всех величин в плоской волне описывается множителем exp [i ( k_lx_l -,тогда (1) и(2) переходят в следующие соотношения для амплитуд (обозначаемых теми же буквами, что и сами величины в (1) и (2))

, (3)

D=k-4u4 (4)

Здесь учтено, что в плоской волне

,где u_i – механических колебаний, и использована симметричность тензоров по парам индексов i,j и p,q (там, где последняя фигурирует), вытекающая из симметричности тензоров Дополнительные ограничения на возможные значения феноменологических материальных тензоров налагает соотношение симметрии кинетических коэффициентов(5).Эти ограничения уже отчасти учтены в(1)-(4) (в правых частях (1) и(2) фигурируют одни и те же тензоры ). Кроме того, должны выполняться следующие соотношения

(5)

Чтобы найти уравнение, определяющее скорости и поляризации звуковых волн (уравнение Кристоффеля), надо воспользоваться уравнением, описывающим динамику колебаний [2]

(6)

(плотность кристалла), и уравнением

div D= (7)

Переписав уравнение (6) и (7) для плоских волн и исключая с помощью (7) и (4) переменные E_i и D_i (для этого удобно использовать представления электрического поля через потенциал получим искомое уравнение Кристоффеля

(8)

где

M (9)

A ₍₁₀₎

В величинах в(8) члены, содержащие произведения двух тензоров r,можно опускать, поскольку они квадратичны по упоминавшемуся выше малому параметру ,а такие поправки мы не учитываем с самого начала. Тензоры и входят в уравнение Кристоффеля только в виде трехкратной свертки с компонентами волнового вектора. Это обстоятельство совместно с учетом упомянутых выше свойств симметрии тензора позволяет достичь упрощения путем введения следующих величин

Здесь подразумевается симметрирование по индексам, соединенным сверху дугами,e_ijp- совершенно антисимметричный единичный псевдотензор,G_sjql назовем псевдотензором акустической гирации (его определение здесь отличается от принятого в (2) отсутствием множителя ).С помощью этих более простых по структуре тензоров (9) и (10) можно записать так

Влияние акустической активности на распространение звука в кристаллах без учета пьезоэлектрического эффекта рассмотрено в (2),причем в связи с измерениями Пайна [3] специально разобран случай распространения звука кварце вдоль оси симметрии третьего порядка. При таком направлении распространения пьезоэлектрический эффект не сказывается на наиболее интересном наблюдаемом явлении-различии скоростей поперечных звуковых волн, приводящих к вращению плоскости поляризации звука. Такая ситуация характерна не только для .. кварца. Она будет иметь место в любом кристалле при распространении звука вдоль оси симметрии третьего или более высокого порядка. В этом случае набор звуковых волн распадается на одну продольную и две строго

Поперечные волны. Рассматривая преобразование коэффициентов уравнения Кристоффеля при поворотах вокруг оси ,нетрудно убедиться, что пьезоэлектрический эффект оказывает влияние на скорость распространения продольной волны, но не сказывается на поперечных волнах. Однако при других направлениях распространения звука и , в частности, вблизи так называемой случайной акустической оси (направление которой связано с конкретными величинами упругих постоянных кристалла и не совпадает с осями симметрии) учет пьезоэлектрического эффекта и его пространственной дисперсии может оказаться существенным.

В(4) также рассмотрено распространение звука в кристалле кварца вдоль оси симметрии с измерениями (3). В (4) проявление акустической активности связывается не с тензором акустической активности ,а с другими коэффициентами. Однако эти коэффициенты либо квадратичны по параметру , либо связаны с учетом электромагнитных поправок и содержат малый множитель(v/c²).Поэтому представляется маловероятным

, что их вклад будет существенным.

Литература.

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Электродинамика сплошных сред., М., «Наука»,1982.

2.Рубин П.Л., Васильева Н.А., Физика твердого тела, Том 19, в.6, 1977.

3. Шаскольская М.П., Кристаллография, М., Высшая шк., 1984.