Курсовые / Квантовая теория синхротронного излучения

где индексы соответствуют проекции амплитуд вектор-потенциала на оси координат. При исследовании спонтанного из­лучения, когда в начальный момент времени фотоны отсутствуют, отличными от нуля остаются лишь следующие билинейные ком­бинации

автоматически учитывающие рождение фотонов.

Поляризационные свойства излучения можно рассмотреть методом, анало­гичным классической теории. В целях исследования линейной поля­ризации разобьем амплитуду поля фотонов а на две взаимно перпендикулярные составляющие

где единичные векторы соответствуют - и -компонентам линейной поляризации:

Вектор направлен вдоль магнитного поля. Для рассмотрения круговой поля­ризации следует представить амплитуду в виде

где

причем соответствует двум состояниям круговой поляризации (правой и левой). Перестановочные соотношения для амплитуд имеют особо простой вид

Введем далее взаимодействие электрона с полем фотонов в га­мильтониан уравнения Дирака

При этом энергия взаимодействия, рассматриваемая далее по тео­рии возмущений,

Дальнейшее рассмотрение проводится обычным методом теории возмущений в виде необходимых разложений матричных элемен­тов по функциям нулевого приближения — точным решениям урав­нения Дирака для электрона во внешнем поле (представление Фарри).

В результате достаточно стандартного расчета можно полу­чить выражения для вероятности квантовых переходов и мощ­ности синхротронного излучения W:

(16)

Эти выражения соответствуют квантовому переходу электрона из состояния, и индекс i соответствует компонентам по­ляризации излучения,. Функция,-, учитываю­щая поляризационные свойства излучения, связана с элементами матриц Дирака:

;

;

,

где

( — угол между направлениями поля Н(ось )соот­ветствует плоскости орбиты вращения электрона). Матричные эле­менты матриц Дирака

выражаются через функции Лагерра I_nn’(x) и /_SS'(x), где . При этом

(17)

-функция в правой части (17) выражает закон сохранения импульса вдоль поля — учитывает эффект отдачи при излучении электроном фотона, спиновые коэффициенты зависят от ори­ентации спина в начальном, и конечном состояниях, -функ­ция связана с законом сохранения энергии при излучении фотона.

Приведенные здесь общие формулы, входящие в выражение для мощности излучения (16), открывают возможность исследо­вания всех характеристик синхротронного излучения для любых значений энергии частицы (включая и низшие уровни) и напря­женности магнитного поля. Сейчас, однако, рассмотрим случай движения электрона по макроскопической орбите, когда значения квантовых чисел и очень велики. Это дает возможность, в ча­стности, перейти к непрерывному спектру, заменив суммирование в (16) интегрированием по:

где

при этом

связана с инвариантом

(18)

Здесь— тензор электромагнитного поля. В случае квазиклас­сического движения, когда квантовые числа принимают очень боль­шие значения, функции Лагерра могут быть аппроксимированы функциями Бесселя постоянного индекса 1/3 — функ­циями Макдональда

причем . Эту аппроксимацию можно положить в основу выражения для мощности синхротронного излучения. Сле­дуя правилам, получаем

(19)

где, характеризующие компоненты линейной поляризации СИ , имеют вид

(20)

При этом — функции— зави­сят от аргумента. Эти формулы полностью характе­ризуют спектрально-угловое распределение мощности синхротрон­ного излучения, включая квантовые переходы электрона с измене­нием ориентации спина (так называемые spin-flip-переходы). Мы не рассматриваем круговую поляризацию излучения и не приво­дим детальных расчетов.

Далее прежде всего остановимся на выражении для спектраль­ного распределения мощности СИ и с этой целью проинтегрируем (19), (20) по телесному углу. Эти интегралы можно взять точно, и тогда можно получить

(21)

где

(22)

Как видно из (22), мощность синхротронного излучения зависит только от . Действительно, поскольку мощность излучения является инвариантной, зависимость от параметра, имеющего прямую связь с инвариантом (18), является вполне очевидной. Представляет интерес оценить значение для разной напряженности магнитного поля, включая экстремальные поля, встречающиеся в природе. Так, в частности, для магнитных полей, применяемых обычно для ускорителей и накопительных колец, поле имеет порядок 10⁴ Гс, и тогда. Это очень маленькое значение, поэтому по параметру возможно разложение всех выражений характеризующих мощность излучения. Это соответствует квантовым поправкам к классическому выражению для мощности СИ, поскольку параметр содержит постоянную Планка . Для магнитного поля, наблюдавшегося вблизи белых карликов ~5-10⁸ Гс, параметр остается малым вплоть до энергий электрона ~100ГэВ, а для магнитного поля, наблюдавшегося вблизи и поверхности пульсаров ~10¹² Гс, параметр, поэтому разложение по этому параметру имеет ограниченный предел по энергии электрона. В случае, если порядка единицы и даже превышает это значение, разложение в виде ряда по параметру, содержащему постоянную Планка, становится невозможным, и квантовые закономерности приобретают фундаментальное значение (ультраквантовый случай)

Формулы для мощности синхротронного излучения (21),(22) включают в себя также члены, соответствующие излучению, которое сопровождается переворотом спина ( компоненты). Как видно из этих выражений, мощность такого излучения про­порциональна квадрату , т.е. квадрату постоянной Планка . Поскольку - компонента излучения содержит явную зависимость от ориентации спина, синхротронное излучение, сопровождаю­щееся переворотом спина, оказывает влияние на его ориентацию и стимулирует направленный процесс поляризации пучка элект­ронов.

Обращает на себя внимание, что зависимость от ориентации спина входит также в - компоненту излучения, не сопровождающегося изменением поляризации.

Важно, что это имеет не только академический интерес. Дей­ствительно, в предположении малости параметра (квазикванто­вый случай) можно ограничиться в (22) линейными по членами, и тогда получим

`

Отсюда следует, что поляризованный пучок электронов со спи­ном, ориентированным против магнитного поля (<0), будет излу­чать несколько больше, чем неполяризованный пучок. В коротко­волновой области спектра () открывается наиболее благо­приятная возможность для наблюдения спиновой зависимости СИ. При этом добавочная мощность СИ, связанная с ориентацией спина, имеет вид

Тогда при, используя асимптотическое поведение функции Макдональда , нетрудно получить, что

Поэтому при наблюдении мощности СИ на фиксированной частоте спектра можно определить поляризационные характеристики пучка частиц.

Найдем теперь выражение для мощности СИ, просуммированное по со­стояниям поляризации электрона и поляризации фотонов:

и сравним это с формулой мощности синхротронного излучения, испускаемого бесспиновой частицей (бозоном со спином 0),

Разность этих выражений, обязанная излучению частицей со спином 1/2, равна

и при малых это выражение дает

Мы вернемся к обсуждению физического содержания этой величины, пока лишь отметим, что разность в этих формулах соответствует мощности излучения неполяризованного электрона и ее значение пропорционально квадрату постоянной Планка . Для поляризованного электрона (имеющего ориентированный спин) различие в мощности излучения по сравнению с бесспинвой частицей проявляется уже в членах, линейных по .

Рассмотрим теперь интегральную мощность СИ и с этой целью проинтегрируем выражение для матричных элементов (22) по спектру, т. е. по dy. Как видно из (21) и (22), вычисления сводятся к линейной комбинации интегралов типа

Впервые задача точного вычисления мощности СИ, равномерно пригодного для любых значений параметра, включая и ультраквантовую область, была решена В. Г. Багровым. При этом оказалось возможным выразить мощность излучения через специальные функции,, связанные с функциями Бесселя от мнимого аргумента и функции Ангера:

Таблицы значений этих функций дают возможность найти мощность СИ при любых заданных. Мы, однако, рассмотрим асимптотические приближенные выражения, которые можно получить непосредственно из (21) и (22), минуя точное интегрирование. Прежде всего остановимся на случае, когда инвариантный параметр меньше единицы. Физически это соответствует Критерию малости энергии излучаемых фотонов по сравнению с энергией электрона, т. е. случаю (квазиквантовое приближение). Тогда, разлагая все величины, входящие в интегралы (21), по параметруи сохраняя члены не выше второго порядка малости, т. е. до второго порядка разложения по постоянной Планка, после интегрирования с по­мощью известного значения интеграла

(23)

[—гамма-функция Эйлера] получаем

(24)

Эти формулы наибо­лее полно описывают основные особенности квантовых поправок к классическому выражению для мощности синхротронного излу­чения W^KJI. Из (23) видно, что - компонента излучения в слу­чае поляризованного электрона зависит от начальной ориентации спина, причем эта зависимость входит в члены, пропорциональные первой степени постоянной Планка . Переворот спина сказыва­ется в членах, пропорциональных , причем вероятность перево­рота в - компоненте зависит от начальной ориентации спина, вследствие чего пучок электронов может получить преимуществен­ную ориентацию спина. На этом мы остановимся более подробно позже при рассмотрении эффекта радиационной поляризации электронов и позитронов.

Найдем теперь полное выражение для мощности синхротрон­ного излучения, суммируя (24) по поляризациям: - и -компонентам, а также конечному спину, сохраняя начальную ориента­цию спина . Тогда можно получить

Несмотря на то что эти поправки были известны уже давно, интерес к их происхождению не исчезал, но до последнего времени физическая интерпретация встречала трудности. Эти трудности объясняются тем, что в релятивистской квантовой механике спи­новые и орбитальные свойства частиц находятся в тесном един­стве, и их раздельное истолкование, как это известно, возможно только в нерелятивистском приближении.

Введение ковариантных операторов поляризации, коммутиру­ющих с гамильтонианом, и разделение с их помощью решений уравнения Дирака по спиновым состояниям можно рассматривать в этом отношении как известный шаг вперед, открывающий воз­можность исследования спиновых свойств релятивистских частиц наряду с орбитальным движением.

Существенный прогресс в квазиклассическом методе рассмотрения мощно­сти СИ с учетом спиновых свойств электрона был достигнут В. А. Бородовицыным, которому удалось дать простое физическое объяснение всем кван­товым поправкам к мощности синхротронного излучения, включая члены поряд­ка , пропорциональные . При этом движение электрона предполагается ультрарелятивистским, что исключает известный подход к интерпретации кван­товых закономерностей путем разложения по параметрам, содержащим отноше­ние . Приведем здесь краткие результаты этого анализа .

Поправка,подтвержденная Швингером , характеризует вклад в излучение, обусловлен­ный эффектом отдачи, испытываемой электроном при излучении фотона. Эф­фект отдачи одинаков для фермионов и бозонов, поэтому та же поправка входит и в мощность излучения бесспиновой частицы.

Более сложную природу имеет поправка пропорциональная , завися­щая от ориентации спина электрона. Она свойственна только поляризацион­ному электрону и при усреднении по спину () исчезает. Эта поправка, наиболее трудно поддающаяся объяснению, возникает из-за смешанного излучения электрона—заряда, движущегося по орбите и электрона — магнит­ного диполя. Таким образом, поправка отражает своеобразную связь спи­нового и орбитального движения частицы. Как было показано, при этом также проявляется эффективная масса частицы со спином во внешнем поле. Важно заметить, что поправка к мощности синхротронного излучения хотя и не связана с переворотом спина электрона, но тем не менее она оказывает влияние на его динамику. К этому вопросу мы вернемся не­сколько позже.

Рассмотрим члены в выражении для мощности СИ, пропорциональные (квадрату постоянной Планка), и постараемся им также дать физическое объяснение. Поправка , одинаковая для электронов и бесспиновой частицы, характеризует эффект отдачи при излучении во внешних членах по, а поправкаявляется разностью и включает в себя наряду с эффектом отдачи также и переворот спина, т. е. излучение магнитного момента неполяризованного электрона. И, наконец, по­правка содержит в совокупности вклад от интерференции излучения заряда и магнитного момента электрона, а также эффект отдачи, испытывае­мой поляризованным электроном.

Мы подробно остановились на вопросах интерпретации кванто­вых поправок к классическому выражению для мощности, посколь­ку это представляет интерес с точки зрения физического понима­ния квантовых закономерностей синхротронного излучения.

И в заключение изложения вопросов, связанных с квантовыми свойствами мощности СИ, рассмотрим ультраквантовый случай движения частицы, когда. Такой случай может реализоваться в условиях экстремально сильных магнитных полей и высоких энергий частицы.

Возвращаясь к выражениям для мощности СИ, включающим любые значения параметров, можно заме­тить, что множитель в знаменателе интеграла по спектру автоматически обрывает интеграл при , если переменная ин­тегрирования , т. е. главный вклад дают значения - При этом для функций можно воспользоваться асимптотическим выражением

и тогда, имея в виду значение интеграла

можно получить

(25)

где— глобальная (полная) мощность излучения, в отличие от она имеет вид

(26)

Из полученных формул следует, что при больших значениях энергии электрона пере­ходы с изменением ориентации спина вносят вклад в основной член полной мощности. При этом уменьшается направленность в изменении ориентации спина, поскольку, как это видно из (25), мощность СИ слабо зависит от начальной ориентации спина.

Важно заметить, что в отличие от квазиклассического случая Движения частицы, когда и квантовые эффекты дают малые поправки к классическим формулам, в ультраквантовом случае ос­новной член является квантовым и переход к классическо­му приближению невозможен.

В квазиклассическом случае движения электрона максимум излучения соответствует частоте

а в ультраквантовом случае спектр обрывается на частоте

(27)

намного меньшей, чем

Действительно, электрон не может излучать энергию больше, чем его энергия Е. Это наглядно следует из общего выражения для частоты излучения

или (28)

При отсюда следует сразу же (27). Заметим также, что из этой формулы в квазиклассическом случае, когда, получает­ся и обычное значение критической частоты (28), если иметь в виду, что переменная интегрирования порядка единицы:.

Соответствующие вычисления глобальной мощности синхро-тронного излучения, проведенные для бесспиновой частицы, при­водят к значению (26), но с численным коэффициентом почти в 2 раза меньше:. Таким образом, роль спина в случае возрастает.

Случай движения, соответствующий ультраквантовому приближению, может представить интерес для ряда задач астрофизики, в которых встречаются эк­стремально высокие энергии частиц, а также в условиях экстремально больших магнитных полей Гс. Общее исследование воз­можности рассмотрения таких полей было проведено Гейзенбергом, при­чем им была доказана возможность решения задачи движения электрона в таком поле в виде одноэлектронной проблемы независимо от напряженности магнитного поля. В противоположность этому последовательная постановка одно-электронной задачи о движении частицы в электрическом поле возможна лишь при условии. При поле Е, близком к критическому, стано­вится возможным рождение пар и задача, таким образом, выходит за пре­делы одноэлектронного рассмотрения.