Курсовые / Квантовая теория синхротронного излучения

Из сравнения (4) и (5) следует также связь a и квадратичной флуктуации радиуса

Исходя из полученных формул, можно дать объяснение пределов изменения азимутального квантового числа . Действительно, находим

т.е. положительные значения соответствуют тому, что начало координат, находится внутри окружности , а отрицательные – вне её () . В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда центр окружности, по которой происходит движение частицы, близок к началу координат, т.е. . При этом естественно ограничиться положительными значениями орбитального квантового числа

Из выражения для радиуса орбиты вращения электрона вид­но, что в случае экстремально сильных полей проис­ходит сильная локализация частицы в плоскости орбиты враще­ния

(6)

В этом можно убедиться исходя из вида волновой функции . Плотность вероятности ради- ального распределения элект­рона будет определяться функциями Лагерра, которые в случае низких уровней энергии (~1) пропорциональны экспо­ненте . Отсюда следует, что область пространственной локализации электрона имеет порядок, т. е. вновь получа­ется результат (7) (ультраквантовая область движения ча­стицы).

Таким образом, основное и низшие возбужденные состояния электрона в сверхсильном магнитном поле сильно локали­зованы— волновой пакет, описывающий движение частицы в пло­скости, перпендикулярной магнитному полю, имеет характерный размер порядка комптоновской длины волны, а при даже меньше ее. Вследствие этого в полях порядка экстремального поля вещество ведет себя необычным образом. Так, например, резко изменяются свойства атомов: атом водорода деформируется в сильном магнитном поле, приобретая игольчатую форму, — он сильно вытянут вдоль направления поля, поскольку его харак­терный размер вдоль поля остается равным см, а в плоскости, перпендикулярной полю Н, локализация электрона сжи­мает атом до размеров порядка см.

В обычных условиях движения частицы в ускорителе или на­копительном кольце магнитное поле 10⁴ Гс, а радиус орбиты электрона — десятки и сотни метров. При этом квантовое число п принимает очень большие значения и спектр энергии становится квазинепрерывным. Так, в частности, для Н =10⁴ Гс и = 100 м ~10¹⁸ — движение квазиклассическое. Полученные решения урав­нения Дирака достаточно строго описывают все слу­чаи движения электрона, включая и ультраквантовую и квазиклас­сическую области. Это открывает широкие возможности для иссле­дования квантовых эффектов, включая макроскопическую область движения частицы.

Разделение решений уравнения Дирака по

спиновым состояниям.

Операторы поляризации.

Вернемся к рассмотрению волновой функции электро­на, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле.В целях детального исследования поведения спина частицы в условиях синхротронного излучения оказалось целесо­образным провести разделение решений уравнения Дирака по спи­новым состояниям.

Как уже отмечалось, наряду с операторами для определения спиновых состояний необходим четвертый оператор, коммутирующий с гамильтонианом, — оператор поляри­зации. В качестве такого оператора рассмотрим так называемый трехмерный вектор — оператор спина, который для свободной ча­стицы имеет вид

(8)

Этот оператор, впервые введенный Штехом, является единичным: его проекция на любое направление в пространстве удовлетворяет тре­бованию

Как видно из(), в системе покоя частицы трехмерный вектор спина равен в направлении движения частицы (продольная поляризация). По­скольку, таким образом,является унитарным преобразованием обычного оператора спина, собственные значения совпадают с собственными зна­чениями оператора спина в системе покоя. Поэтому волновая функция пре­образуется из системы покоя в лабораторную систему с помощью преобразо­ваний Лоренца безотносительно к состояниям поляризации: поляризация оста­ется неизменной во всех системах отсчета.

Заметим далее, что на решениях уравнения Дирака вид опера­тора может быть несколько изменен: с помощью получим выражение

которое допускает простое обобщение на случай движения частицы в магнит­ном поле.

Действительно, заменяя в соответствии с общими правилами

на кинетический импульс, получаем

Однако теперь при движении электрона в магнитном поле в отличие от движения свободной частицы в общем случае не коммутирует с гамильтонианом. Но тем не менее можно найти интеграл движения: сохраняется проекция на направление движения электрона (продольная поляризация) и проекция на направление магнитного поля

Выбирая теперь в качестве оператора поляризации (попереч­ная поляризация) и подчиняя волновую функцию требованию быть собственной для этого оператора

(7)

где С= —1 соответствует ориентации спина электрона соответст­венно вдоль и против магнитного поля, получаем возможность определения всех необходимых чисел, характеризующих состояние: п — главного квантового числа (энергии электрона); — импульса электрона вдоль поля;— проекции полного момента на на­правление поля; -спина. Спиновые коэффициенты определяются из (6) и имеют вид

(8)

Как видно, при переходе в систему покоя решения (8) пере­ходят в паулиевские волновые функции, которые соответствуют двум альтернативным ориентациям спина по отно­шению к внешнему магнитному полю. Такой подход (без введения оператора поляризации) развивался одним из нас в ранних иссле­дованиях спиновых эффектов.

Остановимся далее на вопросе о введении в теорию СИ ковариантных операторов поляризации. Вопрос прежде всего заключа­ется в том, что введение оператора для описания спиновых свойств электрона не является единственной возможностью. Более того, сам оператор вызывает известное чувство неудовлетворен­ности — он является нековариантным и преобразуется при пе­реходе к новой лоренцевой системе координат по особым прави­лам.

Следует заметить, что наиболее просто и естественно спиновые свойства электрона могут быть описаны в случае нерелятивистского движения. Тогда в соответствии с теорией Паули спин частицы определяется совершенно незави­симо от ее орбитального движения с помощью оператора , содержащего двухрядные матрицы Паули , собственные значения которых ±1. Именно это обстоятельство и лежало, по-видимому, в основе предложения Дарвина определять поляризацию свободного электрона как ожидаемые значения спинового оператора, а в лоренцевой системе координат, в которой электрон покоится.

Вопрос об определении спина в релятивистской теории Дирака ста­новится более сложным: сохраняется, как известно, только полный момент количества движения

и в силу этого, вообще говоря, спиновые и орбитальные свойства движения частиц выступают как неразрывное целое. Поэтому задача описания спино­вых свойств электрона в случае его релятивистского движения становится свя­занной с возможностью инвариантного отделения спина от полного момента количества движения. Мы вернемся еще к этому вопросу, но прежде рассмот­рим ковариантные операторы поляризации.

Ковариантная формулировка теории в известной мере вносит сложности в физическую интерпретацию операторов. Для достиже­ния большей ясности в этом вопросе удобно рассмотреть унитарное преобразование Фолди — Ваутхайзена (ФВ-преобразование), которое переводит волновую функцию свободной частицы из лабо­раторной системы в систему покоя, вследствие чего функция ста­новится двухкомпонентной:

Так как при унитарном преобразовании операторов

их средние значения не меняются, то для перевода самих операторов в систему покоя преобразование Фолди — Ваутхайзена следует дополнить соответствую­щим операторным преобразованием Лоренца

где матрица преобразования для случая движения системы координат вдоль оси имеет обычный вид преобразований Лоренца. В дальнейшем нам потребуется обратное преобразование, которое реализуется с помощью матрицы

(9)

элементы которой" приведены в явном виде,.

Воспользуемся далее обратным преобразованием операторов из системы покоя в лабораторную систему координат, тогда

(10)

Прежде чем перейти к рассмотрению ковариантных операторов поляризации, заметим, что в релятивистской теории Дирака ин­терпретация операторов затрудняется (как это отмечалось еще Дираком) ввиду сложного характера движения релятивистской частицы. Электрон Дирака совершает особое «дрожащее движе­ние» (zitterbewegung), характеризуемое наряду с поступательным движением быстрыми осцилляциями с частотой .Подоб­ный сложный характер движения обусловлен особым процессом интерференции состояний, соответствующих различным знакам (±Е), поскольку уравнение Дирака описывает зарядово-сопряженные состояния частицы с энергией. Преобразование Фолди — Ваутхайзена, приводящее волновую функцию к двухкомпонентному виду, устраняет трудности с «дрожащим движением», поскольку операторы в ФВ-представлении не смешивают между собою зарядово-сопряженные состояния. Подобный подход (спра­ведливый только для свободных частиц) снимает многие трудно­сти, связанные с физической интерпретацией операторов.

Рассмотрим прежде всего уже известный нам оператор рз0 с точки зрения унитарного ФВ-преобразования. Выбирая в качестве исходного оператора в системе покоя электрона

(10)

получаем уже известный трехмерный единичный оператор спина

и, подвергая его преобразованиям Лоренца в соответствии с(8),(9), получаем релятивистское ковариантное обобщение в лабо­раторной системе координат в виде четырехмерного псевдовекто­ра спина Баргмана — Вигнера

(11)

где

(12)

К такому же выражению можно прийти в результате преобразо­вания (11) для (мы привели все величины к безраз­мерному виду). Такое ковариантное обобщение не является единственно возможным. Требование (9) преобразования по закону трансформации 4-вектора может быть заменено преобра­зованием по закону тензора второго ранга. Тогда, полагая

где; — известный символ Леви — Чивита, прихо­дим к тензору поляризации — антисимметричному тензору второго ранга

где отличные от нуля компоненты имеют вид

При этом компоненты операторов магнитной и электрической поляризаций равны

(13)

(отдельные компоненты операторов можно найти в ран­них работах А. А. Соколова.)

Таким образом, псевдовектор спина (12) и тензор-оператор поляризации (13) являются инвариантным обобщением единич­ного вектора спина и получаются путем его преобразования из системы покоя в лабораторную систему. Отсюда следует, что все три способа описания спина свободного электрона: , полностью эквивалентны.

В случае движения частицы во внешнем электромагнитном поле операторы допускают простое обобщение, которое достигается обычной заменой на оператор кинетического импульса, где А — вектор-потенциал внешнего поля. Вопрос об интегралах движения должен быть рассмотрен конкретно для данной задачи. Так, в частности, в задаче о движении электрона в однородном магнитном поле в качестве оператора поляризации, позволяющего разделить решения уравнения Дирака по спиновым состояниям, наряду с можно выбрать также коммутирующие с гамильтонианом проекции

являющиеся интегралами движения. Заметим, что оператор сохраняет свойства интеграла движения и при учете аномального момента электрона.

Все эти операторы обладают ковариантными свойствами и в нерелятивистском приближении автоматически переходят в матри­цы Паули, допуская тем самым простую физическую интерпре­тацию.

Наряду с рассмотренными операторами поляризации можно ввести также инварианты с помощью которых поляризационные состояния элект­ронов в магнитном поле можно определить в качестве собственных значений этих операторов:

(14)

которые в случае однородного магнитного поля имеют вид

Здесь— магнетон Бора, a и— соответственно тензор электромагнитного поля и дуальная к нему величина, .Как видно из (14), оба инварианта выражаются через оператор . Инвариант был впервые введен в теорию СИ в1967, с нашей точки зрения, метод инвариантов наиболее предпочтителен при описании Спиновых свойств частиц

Мы уделили особое внимание вопросам описания спиновых свойств электрона при его движении в магнитном поле. На первый взгляд это кажется не совсем оправданным, однако принципиаль­ные вопросы возможности измерения спина релятивистских частиц требуют с нашей точки зрения глубокого анализа.

Вернемся теперь к полному моменту количества движения и рассмотрим оператор координаты г в ФВ-представлении. Пусть в системе покоя — суть координата в теории Дирака. Тогда унитарное ФВ-преобразование дает в лабораторной системе

В случае отсутствия движения () мы приходим к так называ­емому оператору «центра инерции», впервые встречающемуся у В. А. Фока. Физически с помощью ФВ-преобразования устра­няется дрожание координаты, и теперь оператор координаты цент­ра инерции показывает, что электрон как бы размазывается в области про­странства, радиус которой имеет порядок комптоновской длины волны,— так называемый квантовый радиус электрона. Если те­перь в выражении для орбитального момента произвести замену радиуса-вектора оператором центра инерции, то получим, что полный момент количества движения равен

Важно подчеркнуть, что теперь в этом выражении сохраняется каждый из моментов (орбитальный и спиновый) в отдельности.

Таким образом, мы приходим к доказательству принципиальной возможности наблюдения спиновых свойств частиц в релятивистском движении независимо от орбитального движения.

И в заключение отметим, что наряду с ФВ-преобразованием предингеровское дрожание может быть устранено на пути выделения так называемой чет­ной части операторов. Переход к дефинитной четности операторов открывает возможности их наглядной интерпретации при соблюдении необходимых тре­бований ковариантности. Выделение четной части операторов не сме­шивающей состояния, принадлежащие различному знаку энергии, достигается введением знакового оператора

(мы ограничиваемся рассмотрением чисто магнитного поля). Тогда четная часть оператора имеет вид

(15)

если ограничиться только положительными значениями энергии. Такой подход возможен в одночастичном варианте теории, когда напряженность внешнего поля далека от критических значений. В этих ограничениях с помощью анти­коммутатора (14) можно показать, что

т. е. на этом пути мы снова приходим к операторам 4-псевдовектора спина и тензора поляризации.

Приведем теперь матрицу спиновых коэффициентов для разделения решений уравнения Дирака с помощью оператора поляризации, связанного с инвариантом:

Наложив на волновую функцию требование быть собственной функцией этого оператора

получим систему уравнений

(15)

которая имеет нетривиальные решения при. Это соответствует двум возможным спиновым состоя­ниям электрона: проекции спина вдоль магнитного поля () и против поля (). Совместное решение (15) и (1) при­водит к результату

где

Таким образом, закончено определение полного набора, необ­ходимого для описания квантовых состояний электрона в постоян­ном и однородном магнитном поле. Можно лишь в заключение от­метить, что для описания состояний поляризации по отношению к направлению магнитного поля оба оператора () в извест­ной степени эквивалентны. Это вытекает из следующей, имеющей место связи между ними:

При отсутствии движения частицы вдоль направления магнитного поля () эти операторы совпадают, и поэтому их применение полностью равносильно. Однако при учете отдачи при излучении фотонов электроном может измениться составляющая импульса частицы вдоль поля, поэтому влияние квантовых флуктуации на спиновые состояния, собственные для операторов , может оказаться различным.

В связи с этим надо заметить, что для разделения состояний электрона по спиновым состояниям нам представляется более пред­почтительным оператор, обладающий ковариантными свойства­ми, он непосредственно связан с инвариантами, хотя в главных чертах описание закономерностей в кван­товых эффектах можно провести и с помощью.

Учет взаимодействия электрона с электромагнитным полем из­лучения, строго говоря, приводит к смешанным состояниям, и это требует для описания спиновых свойств частицы введения матрицы плотности. Этого вопроса мы коснемся позже.

Взаимодействие электрона с полем излучения.

Квантовые закономерности в интенсивности СИ.

Согласно квантовой теории будем рассматривать из­лучение электромагнитных волн движущимся электроном как ре­зультат спонтанных переходов электрона в более низкое энергети­ческое состояние. Как известно, физической причиной таких пере­ходов является взаимодействие электрона с полем излучения: это взаимодействие электрона с полем излучения: это взаимодействие не прекращается даже тогда, когда в начальный момент времени реальные фотоны отсутствуют (взаимодействие с электромагнит­ным вакуумом). Наиболее последовательной постановкой задачи об излучении является рассмотрение взаимодействия электронов с квантованным полем излучения в предположении, что сами электроны описываются волновыми функциями — решениями урав­нения Дирака, учитывающими внешнее магнитное поле точно. Та­кой метод решения задачи (метод точных решений), в основе кото­рого лежит описание частицы с помощью волновой функции, точно учитывающей внешнее электромагнитное поле, дал возможность не только теоретически предсказать ряд важных закономерностей в синхротронном излучении, но и получить их точное описание.

Как известно, волновая функция поперечного электромагнит­ного поля излучения в вакууме может быть представлена в виде фурье-разложения векторного потенциала по плоским волнам

Поскольку электромагнитное поле поперечно, удобно взять калиб­ровку потенциала в виде, т. е., где. Для квантованного поля фотонов амплитуды и являются операторами рождения и уничтожения частиц и подчи­няются перестановочным соотношением для бозе-поля: