- •4. Формализм квантовой механики
- •Вектор состояния
- •Базисные состояния и координаты
- •Анализ векторов состояния
- •Представления векторов состояния
- •Независимые наблюдаемые
- •Функции состояния
- •Квантовомеханические операторы
- •Представления операторов
- •Спектральные свойства операторов
- •Типы операторов в квантовой механике
- •Операторы квантовомеханических наблюдаемых
- •2. Операторы возмущения
- •3. Унитарные операторы
- •Физические приложения математического аппарата
- •Переход к другому базису
4. Формализм квантовой механики
Существует множество специальных приемов, позволяющих упрощать проведение вычислений с амплитудами вероятности. Совокупность этих приемов составляет математический аппарат квантовой механики. Этот аппарат основан на использовании ряда математических понятий, правильное применение которых требует предварительного анализа их содержания и смысла.
Вектор состояния
Центральное место в математическом аппарате КМ занимает понятие "вектор состояния". Для его анализа используем мысленный эксперимент. Приготовим устройство, включающий источник и детектор, между которыми расположен экран (произвольной формы) с множеством микроскопических отверстий.
Интересующее нас событие S→Dможет осуществиться несколькими альтернативными способами. Каждый из них представляет собой последовательность двух элементарных событий. Правило расчета глобальной амплитуды в такой ситуации известно:
АS→D = D | S = D | 1 1 | S + D | 2 2 | S + . . . . =
= D|ii |S= (DiSi )
Из этой формулы видно, что амплитуда АS→Dполучается в результате комбинирования двух групп комплексных чисел:
числа типа Si =i|S, каждое из которых характеризует одно из отверстий экрана по отношению к источнику, а именно представляет собой амплитуду попадания частицы из источникаSв данное отверстие с номеромi ;
числа типа Di =D|i, каждое из которых характеризует одно из отверстий экрана по отношению к детектору, а именно: представляет собой амплитуду попадания частицы из отверстия с номеромi в детектор D.
Наборы чисел {Si} и {Di} можно рассматривать лишь как необходимые компоненты для вычисления глобальной амплитуды, но можно приписать им определенный смысл и самим по себе, поскольку эти два набора в определенном отношении независимы друг от друга.
Если в рассмотренной выше экспериментальной установке переместить источник в другую точку пространства то изменятся все расстояния от источника до отверстий экрана, а, следовательно, изменятся и все амплитуды типа Si=i|S. При этом, однако, все амплитуды второго типаDi=D|i, останутся теми же самыми, поскольку положение детектора относительно экрана не изменилось. Аналогичную процедуру можно проделать и с детектором, оставив источник в прежнем положении. При этом все числа типа Di=D|iизменятся, но числаSi=i|S, связанные с источником, останутся неизменными.
Отсюда следует важный вывод:
числа Si =i|S характеризуют состояние частиц, приготавливаемых источником — начальное состояние| S ,
числа Di =D|iхарактеризуют состояние частиц в месте расположения детектора — конечное состояние D| .
Подчеркнем, что начальное и конечное состояния частиц характеризуются не в универсальном смысле, а лишь некоторым конкретным способом — с точки зрения прибора, расположенного между источником и детектором (в данном случае — экран с отверстиями). Достаточно очевидно, что при использовании другого прибора мы получим аналогичное описание обеих состояний (начального и конечного), но наборы чисел {Si} и {Di}, будут другими.
Такое описание состояния микрообъектов посредством набора чисел-амплитуд и называется "вектором состояния". Происхождение такого названия обусловлено аналогией между рассмотренными выше наборами чисел-амплитуд и обычными математическими векторами. Рассмотрим для примера вектор на плоскости. Для его описания удобно использовать систему координатных осей, например, декартовых:
Каждая декартова ось порождается некоторым специальным базисным вектором,имеющим заданное направление и единичную длину. Для анализа произвольного вектораRнужно сначала спроектировать его на координатные оси и найти две проекции:Rx и Ry, сумма которых и дает векторR:
R=Rx+Ry
Второй этап анализа заключается в том, что проекции вектора сравнивают по длине с соответствующими базисными векторами, длина которых принимается за единицу. Это приводит к представлению вектора в виде линейной комбинации базисных векторов:
R=Rx+Ry = x i + y j
Пользуясь одним и тем же набором базисных векторов (системой координат), мы можем проанализировать подобным образом любой вектор. При этом все описания будут выглядеть однотипно, отличаясь только набором чисел (x,y), которые называются координатамивектора в выбранном базисе (i, j). Поэтому в рамках заданной координатной системы не только каждый вектор можно охарактеризовать набором чисел-координат:R= (x, y), и наоборот, каждый такой набор чисел можно рассматривать как вектор (x, y) =R. Отсюда и вытекает интерпретация наборов чисел-амплитуд как векторов:
вектор начального состояния | S = (S1,S2, ... )
вектор конечного состояния D | = (D1,D2, ... )
Рассмотренная аналогия между математическими векторами и векторами состояния простирается очень далеко. Так, для математических векторов определена специальная операция — "скалярное умножение". Она выполняется следующим образом. Один из векторов-сомножителей записывают в виде вектора-строки, а второй — в виде вектора-столбца, затем попарно перемножают координаты с одинаковыми номерами, а полученные произведения складывают:
Результатом скалярного умножения двух векторов является единственное число Z(скаляр), называемое скалярным произведениемвекторовАиВ. Легко заметить полное сходство между конструкцией скалярного произведения и схемой вычисления амплитуды через векторы начального и конечного состояний:
АS → D=D|S=D|1 1|S+D|22|S+ . . . . =
= D|ii |S= (DiSi )
Отсюда можно заключить:
глобальная амплитуда некоторого события (квантового перехода) всегда может быть представлена в виде скалярного произведения двух векторов, изображающих начальное и конечное состояния.
Символ, введенный выше для обозначения амплитуды D|Sможно рассматривать как "произведение" двух символов, изображающих отдельные векторы-сомножители: D | S =D||S. При этом очевидно, что первый сомножитель эквивалентен вектору-строке, а второй — вектору-столбцу. Существует общепринятое соглашение:
векторы начальных состояний всегда следует рассматривать как векторы-столбцы и обозначать их правой угловой скобкой | S("кет-вектор");
векторы конечных состояний всегда следует рассматривать как векторы-строки и обозначать их левой угловой скобкой D| ("бра-вектор");
cкалярное произведение двух векторов состояния всегда должно выглядеть как полная угловая скобкаD|S("бра-кет" — от английскогоbracket— скобка).
Таким образом, можно сделать несколько промежуточных выводов:
1) Любое квантово-механическое состояние можно изобразить с помощью математического объекта — вектора состояния.
2) Любой КМ-вектор состояния можно проанализировать особым способом — представить в виде линейной комбинации некоторых базисных векторов, и описать набором чисел-координат.
3) Любое КМ-событие можно представить в виде перехода из одного состояния в другое, причем амплитуда этого события может быть вычислена как скалярное произведение соответствующих векторов состояния.