2. Операторы возмущения

Рассмотрим еще одну типичную экспериментальную ситуацию:

Между источником и детектором здесь расположен дополнительный макроскопический объект, обычно называемый "прибором". Начальное и конечное состояния по-прежнему можно описать с помощью векторов:

 D | = D₁ •  1 | + D₂ •  2 | + . . . =  D_i •  i | , где D_i =  D | i 

| S  = | 1  • S₁ + | 2  • S₂ + . . . =  | i  • S_i , где S_i =  i | S 

Однако траектории движения частицы состоят теперь не из двух отрезков, а из трех — добавляется отрезок, заключенный внутри "прибора". Поэтому глобальная амплитуда будет выражаться следующей формулой:

А_SFD =   D | j   j | F | i   i | S  =  D | F | S 

Заметим, что совокупности чисел D_i =D|iиS_i =i|Sпронумерованы одним индексом и могут трактоваться как координаты некоторых векторов (D| и |S, соответственно). Напротив, совокупность чиселF_ij =j|F|iпронумерована двумя индексами и должна рассматриваться как матрица некоторого оператора (F ). Такие операторы называются операторами возмущения.Обычно, оператор возмущения интерпретируется как математическая модель некоторой физической причины (воздействия) или условия, которые определяют величину вероятности перехода системы из одного состояния в другое:

Следует подчеркнуть, что матричные элементы F_ij =j|F|i, соответствующие "внутриприборным" отрезкам траекторий, нельзя вычислять по правилу для элементарных событий — перемещений вдоль отрезка прямой по инерции. ЧислаF_ij зависят от внутреннего устройства прибора, которое может оказаться весьма сложным. Тем не менее, с формальной точки зрения любой прибор, независимо от его сложности, в отношении его влияния на движение частиц может быть исчерпывающим образом охарактеризован матрицейF(оператором возмущенияF).

Амплитуду (и вероятность) сложного события с участием "прибора" можно рассчитать, зная векторы (волновые функции) начального и конечного состояний и явный вид оператора возмущения

А_SFD =  D | F | S  = _ ( _D^*• F • _S )dV

Типичным примером таких событий могут служить квантовые переходы в атомах и молекулах при их взаимодействии с электромагнитным излучением. В отсутствие излучения атом находится в одном из стационарных состояний, например, | 1s. Переходы в другие стационарные состояния запрещены, так как векторы стационарных состояний взаимно ортогональны:2s| 1s= 0. При наличии излучения электрическое поле определенным образом изменяет начальное состояние:Е | 1s= | 1s', что и делает переход возможным:2s|Е| 1s=2s| 1s'0

3. Унитарные операторы

Для полноты картины следует отметить рассмотренные ранее унитарные операторы,которые в квантовой механике играют вспомогательную роль — служат для перехода от одного представления вектора состояния (волновой функции) к другому.

Физические приложения математического аппарата

Для иллюстрации методики применения математического аппарата рассмотрим наблюдаемую, называемую спиновым моментом (или просто спином) микрочастиц. Спин является характеристикой векторного типа, для задания которой необходимо указать:

• длину (модуль) вектора спина | S|,

• направление (ориентацию) вектора спина в пространстве, которую можно определить, например, указанием проекций этого вектора на декартовы координатные оси S_x,S_yиS_z .

Когда мы говорим, что спин — наблюдаемая величина, то подразумеваем, что должна существовать экспериментальная процедура, позволяющая установить как длину, так и направление вектора S. Эта процедура основана на известном физическом законе: если частица обладает электрическим зарядом и участвует во вращательном движении, то масса частицы приводит к появлению у нее механического момента (S), а заряд — к появлению магнитного момента (). Другими словами, у любой заряженной и вращающейся частицы имеются сразу два момента — механический и магнитный, связанные между собой соотношением:

где коэффициент называется магнитно-механическим отношением.Его величина и знак зависят от заряда и массы частицы. Например:

Наличие магнитного момента у частиц со спином и позволяет построить надлежащий спектральный анализатор. Если частицу с магнитным моментом поместить в магнитное поле с индукциейВ, то ее энергия изменится на величину, зависящую от взаимной ориентации этих двух векторов:

E= –•B= – |||B|cos= –_BB

Если магнитное поле будет неоднородным, т.е. | В| =f(x, y, z), то величина магнитной энергии будет зависеть и от положения частицы в пространстве, т.е. от величины магнитной индукции в данной точке пространства. В результате, на частицу будет действовать механическая сила, толкающая частицу в область более сильного поля (при параллельной направленности векторовиВ) или в область более слабого поля (при антипараллельной направленности векторовиВ):

Величина этой механической силы зависит от угла между векторами иB, что приводит к пространственному разделению частиц со спином, имеющих разную ориентацию вектора спина (и вектора магнитного момента) по отношению к направлению внешнего магнитного поля.

Реальное физическое устройство, которое осуществляет такое пространственное разделение и сортировку частиц со спином, называется прибором Штерна-Герлаха (ШГ). Этот прибор состоит из двух длинных постоянных магнитов особой формы, создающих в промежутке между ними неоднородное магнитное поле с вертикально направленным градиентом. Через промежуток, "заполненный" неоднородным магнитным полем, пропускается пучок частиц со спином, приготовленных в некотором состоянии. Когда частицы пролетают внутри прибора, они отклоняются от первоначального направления, причем величина отклонения зависит от ориентации вектора спина относительно самого прибора.

Конфигурация силовых линий магнитного поля в поперечном сечении такого прибора имеет вид, изображенный на рис. , что обеспечивает повышенную напряженность возле острия нижнего магнита.

Эта конфигурация поля приведет к тому, что частицы с магнитным моментом, ориентированным вверх, будут отклоняться тоже вверх (в область слабого поля), и наоборот. В результате, узкий начальный пучок частиц растянется на выходе из прибора вдоль вертикальной оси z. Величина отклонения частицы за время ее пролетания через прибор будет определяться величиной проекции ее вектора на вертикальную ось ( _z ):

где L— длина прибора, аv— скорость движения частиц.

Расставив на выходе прибора детекторы, мы сможем легко определять для каждой частицы величину вертикального отклонения, а из него — рассчитывать ориентацию векторов иS(точнее — проекции этих векторов на вертикальную ось_zиS_z). Кроме того, измеряя максимальные отклонения вверх и вниз, мы можем оценить и длину этих векторов, поскольку максимально возможная проекция всегда совпадает с самим вектором.

Таким образом, прибор ШГ является спектральным анализатором, предназначенным для измерения двух наблюдаемых:

• S_z, называемой проекциейвектора спина (на ось z);

• | S|, называемой модулемвектора спина.

Эти два числа полностью характеризуют сложную наблюдаемую, называемую спиномчастицы.

Обратимся теперь к анализу результатов измерений, получаемых с помощью прибора ШГ.

Основываясь на классических представлениях о векторных величинах, можно было бы предположить, что ориентации вектора спина могут быть любыми — от параллельной, до антипараллельной. В этом случае, на выходе из прибора мы наблюдали бы некоторую сплошную зону, внутри которой плотность пучка могла бы заметно меняться, но не обращаться в ноль. Для каждого значения наблюдаемой S_zможно измерить вероятность и описать ее функцией распределения, которая могла бы иметь такой примерный вид:

Опыт, однако, показывает иную картину. Действительные функции распределения, получаемые в приборе ШГ, состоят из небольшого числа острых дискретных максимумов, разделенных пустыми промежутками:

Это говорит о том, что наблюдаемая S_zимеет дискретный спектр, состоящий из небольшого числа допустимых значений. Число максимумовn(т.н.мультиплетность) и их положения в функции распределения строго постоянны для каждого типа частиц и никогда не изменяются. В зависимости от способа приготовления частиц (т.е. от их начального состояния) могут изменяться лишь относительные величины пиков.

Отсюда следует важный физический результат:

• длина (модуль) вектора спина строго определена природой частицы и всегда имеет только одно значение (| S | =const),

• ориентация вектора спина может осуществляться только несколькими различными способами (S_z=S_z1,S_z2, . . . ,S_zn), число которых (n— мультиплетность) зависит только от природы частицы и величины модуля спина,

• вероятности различных ориентаций (P₁,P₂, . . .,P_n) вектора спина зависят от конкретных условий приготовления частицы со спином.

На основании этих результатов вводятся некоторые вспомогательные величины (с целью удобства описания спиновых свойств частиц):

• спиновое квантовое числоs, величина которого удовлетворяет соотношениюn = 2s + 1;

• магнитное спиновое квантовое числоm_s, причемm_s= –s, –s + 1, –s + 2, . . . . ,s – 2,s – 1,s

Через эти новые вспомогательные характеристики удобно выражать допустимые значения наблюдаемых, характеризующих спин:

Так, для электронов, независимо от способа их приготовления мультиплетность всегда равна 2, откуда следуют соотношения:

Для частиц другой природы — ядер дейтерия — мультиплетность всегда равна 3, откуда следуют аналогичные соотношения:

Легко заметить, что целочисленные значения мультиплетности приводят к тому, что спиновые квантовые числа бывают только двух сортов: а) целые (при четной мультиплетности) и б) полуцелые (при нечетной мультиплетности). Это обстоятельство позволяет разделить все микроскопические объекты на два класса:

• бозоны— частицы с целым спином (s = 0, 1, 2, . . .);

• фермионы— частицы с полуцелым спином (s = 1/2, 3/2, . . .).

Такое разделение очень важно, так как бозоны и фермионы принципиально отличаются друг от друга по многим параметрам и той роли, которую они играют в образовании структур. Так, многие важные в химическом отношении свойства атомов и молекул обусловлены именно тем обстоятельством, что электроны относятся к классу частиц-фермионов. Многие свойства света обусловлены тем, что фотоны относятся к классу частиц-бозонов.

Обратимся теперь к рассмотрению формального квантово-механического описания некоторых экспериментов с прибором ШГ.

Пусть имеется пучок частиц со спином 1 (например, ядер дейтерия). Пропустим такой пучок, содержащий Nчастиц через прибор ШГ. На выходе мы обнаружим три вторичных пучка, содержащие соответственноN₊,N₀иN_–частиц:

Повторяя много раз этот эксперимент, мы увидим, что числа N₊,N₀иN_–каждый раз будут несколько отличающимися, однако, их средние значения будут стремиться к некоторым постоянным пределам —вероятностям:

(N₊ /N)Р₊ (N_o /N)Р_o(N_– /N)Р_–

Как всякий спектральный анализатор, прибор ШГ задает набор базисных состояний. В данном случае таких состояний будет всего три:

| +Z— частица характеризуется величинамиm_s= +1 иS_z= +,

| оZ— частица характеризуется величинамиm_s= 0 иS_z= 0,

| –Z— частица характеризуется величинамиm_s= –1 иS_z= –,

Произвольное начальное состояние может быть представлено в виде ЛК этих трех состояний:

|   = Z₊ | +Z  + Z_о| оZ  + Z_–| –Z  ,

где | Z₊ | ² = P₊ ; | Z_o | ² = P_o ; | Z_– | ² = P_– .

Таким образом, в данном базисе вектор состояния может быть изображен набором трех чисел: | = (Z₊,Z_о,Z_–), где числа-координаты представляют собой амплитуды попадания частицы, находящейся в начальном состоянии |, в один из базисных пучков:

Z₊=+Z|Z_о=oZ|Z_–=–Z|

Физическая интерпретация полученного результата такова.

Произвольное состояние | является суперпозицией трех базисных состояний. В результате применения прибора происходит превращение ("редукция") этого суперпозиционного состояния в одно из базисных состояний.

Другими словами, пока частица находится в исходном пучке, мы не знаем, какой результат даст нам измерение. Мы даже не можем отличить частицы исходного пучка друг от друга. Все что можно сказать о свойствах конкретной частицы сводится к указанию трех вероятностей (Р₁,Р₂,Р₃) или амплитуд (Z₊,Z_o,Z_–). Однако после прибора каждая частица приобретает вполне определенное значение наблюдаемой и ее состояние становится одним из базисных.

Модифицируем экспериментальную ситуацию: на пути всех вторичных пучков поставим еще по прибору ШГ, точно такому же, как и первый:

Результат будет выглядеть так:

• все частицы верхнего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в верхнем пучке;

• все частицы среднего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в среднем пучке;

• все частицы нижнего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в нижнем пучке.

Другими словами, если частица находится в одном из базисных состояний прибора, то повторное применение того же самого прибора не изменяет этого состояния.

На математическом языке этот результат можно сформулировать так: амплитуды перехода между различными базисными состояниями одного и того же прибора равны 0, а между одинаковыми состояниями — равны 1.

оZ | +Z = –Z |+Z = +Z | oZ = –Z | oZ = +Z | –Z = oZ | –Z = 0

 +Z|+Z=oZ|oZ=–Z|–Z= 1

Для выражения этого результата удобно использовать матрицу амплитуд переходов:

или т.н. "символ Кронекера": j | i  = _ij , равный 1 для одинаковых индексов (_ij= 1 приi=j) и 0 для разных индексов (_ij= 0 приij).

В математике два вектора, скалярное произведение которых равно 0, называются ортогональными. Поэтому можно сформулировать правило:

все базисные состояния, задаваемые некоторым прибором, попарно ортогональны между собой.