5. Время и пространство в квантовой механике
Ранее мы уже отмечали, что амплитуда события закономерно зависит от локализации этого события во времени и в пространстве. Эти закономерности можно описать относительно простыми уравнениями, используя понятия вектора (или функции) состояния и оператора.
5.1. Зависимость амплитуд от времени
Представим себе устройство ("прибор"), в котором с частицами ничего не происходит: частица предоставлена самой себе и подвергается только действию времени. Влияние времени на состояние частицы можно исследовать стандартным способом — с помощью некоторого спектрального анализатора (А). Для этого следует проанализировать приготовленное состояние частиц в разные моменты времени, напримерt1 иt2. В качестве результата анализа будут выступать два вектора состояния:
| t1 = A1 | 1 + A2 | 2 + . . . . + An | n
| t2 = A'1 | 1 + A'2 | 2 + . . . . +A'n|n
В общем случае результат анализа (т.е. набор чисел-координат Ai) зависит от момента времени, в который производится анализ, т.е. с течением времени состояние частицы изменяется. Для описания такой эволюции во времени удобно представить состояние в виде вектора, координаты которого закономерно зависят от времени:
| t = A1(t) | 1 + A2(t) | 2 + . . . . + An(t) | n
Зная, как выглядят функции Ai(t), можно вычислить числовые значения координат вектора состояния в произвольный момент времениt. Подчеркнем, что при таком подходе зависимость от времени заключена в координатах вектора, тогда как базисные состояния от времени никак не зависят. Такой способ введения времени в квантово-механические уравнения называетсяпредставлением Шредингера.
Существуют и другие способы решения той же проблемы. Так, в представлении Гейзенберга время вводится в базисные состояния, тогда как координаты вектора состояния предполагаются постоянными:
| t = A1 | 1 (t) + A2 | 2 (t) + . . . . + An | n (t)
Наиболее общим вариантом является представление Дирака, в котором временная зависимость разделяется определенным способом между координатами и базисными состояниями:
| t = A1 (t) | 1 (t) + A2 (t) | 2 (t) + . . . . + An (t) | n (t)
Рассмотрим эволюцию состояния системы за промежуток времени между двумя измерениями: t=t2–t1, в течение которого совершается переход |t1 |t2. Этот переход удобно описать с помощью специального оператора эволюции Ut.
| t2 = Ut | t1
Это векторно-операторное уравнение можно записать в координатном представлении, например через вектор-столбцы и квадратную матрицу:
В соответствии с правилами линейной алгебры, мы можем заменить это уравнение эквивалентной системой из nуравнений вида:
которые позволяют вычислять координаты второго вектора из известных координат первого и матричных элементов оператора эволюции.
Достаточно очевидно, что каждому отрезку времени соответствует свой оператор эволюции, т.е. для описания произвольных процессов эволюции потребуется бесконечно много таких операторов. В действительности, однако, операторы эволюции тесно связаны между собой. Рассмотрим два последовательных промежутка времени, которым соответствуют операторы эволюции U(t2,t1) иU(t3,t2). Сумма двух, следующих друг за другом, промежутков времени (t21=t2–t1иt32=t3–t2) может, очевидно, рассматриваться как один большой промежуток (t31=t3–t1), которому соответствует свой оператор эволюцииU(t3,t1):
Тогда между тремя перечисленными операторами существует простое соотношение:
U (t3, t1) = U (t3, t2) U (t2, t1)
Отсюда можно заключить, что операторы эволюции для более крупных промежутков времени можно строить в виде произведений операторов для более мелких промежутков. Это позволяет выбрать некоторый стандартный промежуток времени (достаточно малый), найти для него оператор эволюции и из него строить все остальные. Наиболее удобно в качестве такого стандартного промежутка взять бесконечно малыйинтервал (dt). Соответствующий стандартный операторUdtназывается оператором бесконечно-малого сдвига во времени (или "инфинитезимальным" оператором эволюции).
Рассмотрим вид матричных элементов оператора эволюции, который осуществляет сдвиг от начального момента времени t1= 0 к текущему моментуt1=t. Очевидно, что матричные элементы будут функциями времени:Uij=(t). Любую из этих функций можно разложить в степенной ряд (ряд Тейлора):
(t) =(0) +С1(t) +C2(t)2+• • •
где коэффициенты С1,С2и т.д. пропорциональны производным первой, второй и т.д. степени.
Для бесконечно малого сдвига во времени степенями величины dt, начиная с 2, можно пренебречь. Поэтому зависимостьUij(t) может быть представлена более простым образом:
Очевидно, что при нулевой величине сдвига (t= 0) конечный вектор не будет отличаться от исходного, т.е.A'i = Ai. Следовательно, матричные элементыUij(0) должны образовывать единичную матрицу (символ Кронекераилидельта-символ — ij):
С учетом этого результата выражение для матричного элемента приобретет вид:
(переименование коэффициента разложения dUij/dt–(i/)Hijосуществляется по соображениям размерности). Подставив полученное выражение в исходную систему уравнений, получим:
A'i = [ij – (i/ )Hij dt]Aj = ij Aj – (i/ )(Hij Aj)dt =
= Ai – (i/)(Hij Aj)dt
Отсюда легко получить следующую форму системы уравнений:
которую удобно переписать в матричном виде
или в операторном виде с использованием векторов состояния:
или волновых функций:
Это уравнение называется уравнением Шредингера, а входящий в него операторН—оператором Гамильтона(илигамильтонианом).
Таким образом, можно узнать, насколько изменилось некоторое начальное состояние за время dt, располагая только оператором Гамильтона:
(t + dt) = (t) + d = (t) – (i/) [H • (t)]dt
Последовательно проводя такую операцию сдвига во времени (+dt или–dt), можно легко предсказать все будущие и прошлые состояния системы.
Следует подчеркнуть, что гамильтониан зависит от внешних условий, в которых находится система — если эти условия изменить, то изменится и характер эволюции системы во времени.
Рассмотрим некоторые свойства оператора Гамильтона.
Как у всякого квантово-механического оператора, у гамильтониана имеется набор собственных векторов (функций) и собственных значений:
которые удовлетворяют уравнению на собственные значения:
H | hi = i | hi и H i = i i
Возьмем одну из собственных функций гамильтониана и подставим ее в уравнение Шредингера:
В этом случае операторное уравнение превращается в простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое может быть легко проинтегрировано:
Заметим, что комбинация величин, стоящая в показателе экспоненты:
представляет собой фазу комплексной экспоненты, т.е. безразмерное число. Отсюда можно заключить, что размерность собственного значения гамильтониана выражается в [Дж]. Поэтому, собственные значения оператора Гамильтона представляют собой допустимые значения квантовомеханической наблюдаемой, называемой, по аналогии с классической механикой, энергией ():i =i . Отношениеi=i / (с размерностью [с–1] ) называетсячастотой, которая, в сущности, также представляет собой энергию, но измеренную в единицах.
Теперь собственные функции гамильтониана можно записать так:
Очевидно, что каждой собственной функции гамильтониана соответствует своя строго определенная энергия (и частота). Этот признак является характерным, и любое квантово-механическое состояние со строго определенной энергией является одновременно и собственным для некоторого оператора Гамильтона.
Из приведенных формул видно, что собственные функции гамильтониана зависят от времени, причем временная зависимость всегда имеет строго определенный вид: фаза комплексной экспоненты прямо пропорциональна времени: = t.
Располагая этой информацией, можно описать зависимость от времени для любой волновой функции. Для этого достаточно воспользоваться принципом суперпозиции. Набор собственных функций любого оператора образует базис. Поэтому можно произвольную функцию представить в виде линейной комбинации собственных функций гамильтониана:
Легко видеть, что несобственным функциям всегда соответствует несколько частот, тогда как каждой собственной функции соответствует единственная и строго определенная частота. По этой причине собственные состояния гамильтониана иногда называют монохроматическими.