Независимые наблюдаемые

Теперь следует вспомнить о том, что при механическом описании некоторого объекта не все его наблюдаемые являются взаимозависимыми. Для любого объекта можно выделить небольшое число независимых наблюдаемых, составляющих фундаментальный набор. Между этими наблюдаемыми не существует связи, которую можно было бы выразить уравнением состояния.

Поэтому, для полного описания квантово-механического состояния его следует проанализировать несколькими способами, используя спектральные анализаторы для измерения наблюдаемых, образующих фундаментальный набор. Получаемые в результате векторы состояния содержат "неперекрывающуюся" информацию и не могут быть преобразованы друг в друга посредством унитарных операторов.

Пусть, объект имеет три степени свободы и его фундаментальный набор включает три независимые наблюдаемые: A,B,C.

Объект находится в некотором состоянии . Проводя анализ этого состояния с помощью трех спектральных анализаторов, получим три вектора состояния:

Прибор А:|_A= |А₁а₁+ |А₂а₂+ ... + |А_kа_k

Прибор B:|_B= |B₁b₁+ |B₂b₂+ ... + |B_m b_m

Прибор C: |_C= |C₁c₁+ |C₂c₂+ ... + |C_n c_n

(следует иметь в виду, что для независимых наблюдаемых число координат (k,m,n) может быть различным, тогда как для зависимых наблюдаемых оно всегда одинаково).

Чтобы сохранить возможность использования удобного понятия "вектор состояния", мы можем прибегнуть к специальному математическому приему, который называется "прямое сложение векторов". Запишем наши векторы через координаты в виде векторов-строк:

| _A= (а₁ ,а₂, ... ,а_k )

| _B= (b₁,b₂, ... ,b_m )

| _C= (c₁ ,c₂, ... , c_n )

Тогда их прямая сумма будет представлять собой вектор размерности (k + m + n) с координатами:

| = |_A |_B |_C=

= ( а₁ ,а₂, ... ,а_k,b₁,b₂, ... ,b_m,c₁ ,c₂, ... , c_n )

Такой вектор уже содержит в себе полную информацию о состоянии объекта. Очевидно, что, используя различные фундаментальные наборы, мы будем получать различные представления такого полного вектора. Однако все эти представления уже будут однозначно связаны между собой унитарными операторами.

В большинстве практических задач нет необходимости использования такого "полного" вектора состояния и можно обойтись только его частью, относящейся к одной из наблюдаемых: (а₁,а₂, ... ,а_k) или (b₁,b₂, ... ,b_m) или (c₁,c₂, ... ,c_n).

Функции состояния

До сих пор мы подразумевали, что наблюдаемые имеют дискретный спектр допустимых значений. Однако существует множество наблюдаемых, спектры которых непрерывны. Если представить себе спектральный анализатор, предназначенный для измерения такой наблюдаемой, то можно легко догадаться, что на выходе из него может получаться бесконечное число вторичных пучков, следующих непрерывно друг за другом.

Для описания такого прибора потребуется бесконечный набор базисных состояний. Соответственно, вектор состояния, проанализированный таким прибором, будет изображаться бесконечно длинной ЛК, для которой потребуется бесконечно много чисел-координат:

| = |А₁а₁+ |А₂а₂+ ... + |А_iа_i + ....

Это создает определенные трудности, которые, однако, легко обойти. Дело в том, что соседние базисные состояния практически одинаковы, а, следовательно, и соответствующие им амплитуды-координаты бесконечно мало отличаются между собой. Другими словами, при перемещении вдоль непрерывной совокупности базисных состояний координаты вектора состояния изменяются закономерно. Эту закономерность всегда можно описать с помощью алгебраической функции типа:

a_i =F(i) илиa_i=F(А_i)

Располагая такой функциональной зависимостью, мы всегда можем вычислить интересующую нас амплитуду с заданным номером ( i) или соответствующую некоторому заданному значению наблюдаемой (А_i ).

Таким образом, любой вектор можно рассматривать как некоторую алгебраическую функцию — непрерывную или дискретную, и наоборот, всякая функция может быть интерпретирована как вектор с конечным или бесконечным числом координат. Изображение вектора состояния с помощью функциональной зависимости называется функцией состояния.

Типичным примером наблюдаемых с непрерывным спектром являются пространственные координаты, например х, y, z. Предположим, что мы имеем частицу, запертую внутри прямоугольного ящика с размерамиL_x,L_y иL_z. Измеряя пространственное положение частицы, мы можем получить любой набор координат, лежащих внутри интервалов:

0 < x<L_x0 <y<L_y 0 <z <L_z

Другими словами, частица может быть обнаружена в любой точке внутри ящика. При этом каждой точке будет соответствовать своя вероятность и своя амплитуда. Этот бесконечный набор вероятностей и амплитуд удобно выразить в виде двух функций — вероятностной (Р) и амплитудной ():P=P(x,y,z) и=(x,y,z). При этом в каждой точке пространства будет выполняться равенство:

P(x,y,z) = | (x,y,z) |²

Функциональные представления векторов состояний удобны еще и тем, что в этом случае вектор можно изобразить наглядно — посредством графика функции состояния. В большинстве случаев, такие графики имеют волнообразную форму, что в некоторой степени оправдывает использование термина "волновая функция". Так, для приведенного примера системы ("частица в трехмерном ящике") волновая функция представляет собой произведение трех синусоид:

 (x,y,z) ~sin[kn_x/L_x)x]sin[kn_y/L_y)y]sin[kn_z/L_z)z]

и ее график имеет, соответственно, характерный "синусоидальный" вид.