По правилу дифференцирования сложной функции
[y(x(t))]′t = y′x xt′,
а так как |
xt′ dt = dx , то дифференциал dy |
можно |
записать в виде |
dy = y′x dx = |
f ′(x) dx , то есть формула дифференциала сохраняет свой вид. |
||
Следствие |
|
y = f (x) |
|
Из теоремы следует, что производную y′ функции |
можно записывать в |
||
виде y′ = dydx , независимо от того, является x простой переменной или функцией другой
переменной.
Иногда удобно вычислять дифференциал, не раскрывая до конца производные сложных функций, а пользуясь инвариантностью его формулы.
3.1.8. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
Производная функции, заданной параметрически
Если функция y = f (x) |
x = ϕ(t) |
, где |
задана параметрическими уравнениями |
||
|
y = ψ(t) |
|
параметр и если функции ϕ(t) и ψ(t) дифференцируемы в точке t , то функция y = также дифференцируема в точке x(t) и ее производная вычисляется по правилу:
t –
f (x)
|
|
y′x = |
ψ′(t) |
. |
|
|
|
||
|
|
|
ϕ (t) |
|
|
|
|
′ |
|
Доказательство |
|
|
|
|
Было показано, |
что производную y′x можно представить как отношение |
|||
дифференциалов: y′x |
= |
dy . |
|
|
|
|
dx |
|
|
Поскольку функции ϕ(t) и φ(t) дифференцируемы в точке t , соответствующей точке x , то, используя формулу дифференциала, dy и dx можно представить в виде:
|
|
dy = ψ′(t) dt , |
dx = ϕ′(t) dt . Тогда y′x |
= |
ψ′(t) dt |
= |
ψ′(t) |
. |
||||
|
|
′ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ (t) dt |
|
ϕ (t) |
|
Задача 3.1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите |
|
производную |
y′x функции y(x), |
|
заданной |
параметрическими |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнениями: |
x = |
|
|
t . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение
По теореме о производной функции, заданной параметрически, можно записать
|
3 |
|
′ |
|
|
1 |
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
||||||||||
y′x = |
( |
|
t )t |
|
|
3 |
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
= |
|
|
|
|
= − |
t 6 . |
|||||||||||
|
1 |
|
′ |
− |
1 |
t |
− |
3 |
|
3 |
|||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
t |
t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная функции, заданной неявно |
y = y(x) задана соотношением |
|
Если дифференцируемая в точке |
x функция |
|
F (x, y)= 0 и если при этом функция |
F(x, y(x)) - |
дифференцируема в точке x , то |
производную y′(x) можно определить из равенства
(F (x, y(x)))′x = 0 ,
так как функция F(x, y(x)) тождественно равна постоянной и, следовательно, ее производная равна нулю.
Задача 3.1.8
Вычислите производную y′x , если дифференцируемая функция y = y(x) задана неявно равенством
x3 y + x y3 −3x2 −3y2 + exy = 0 .
Решение
Согласно теореме 2 производную y′x следует определять из равенства
(x3 y + x y3 −3x2 −3y2 +exy )′x = 0 .
Вычислим все производные в левой части этого соотношения, используя правила дифференцирования.
3x2 y + x3 y′x + y3 + x 3y 2 y′x − 6x − 6 yy′x + e xy (y + xy′x )= 0 .
Из полученного равенства определим производную y′x .
(x3 +3x y2 −6y + exy x) y′x = 6x −3x2 y − y3 −exy y .
y′x = |
6x −3x2 y − y3 |
−exy y |
. |
|
x3 +3x y2 −6 y + exy x |
||||
|
|
|||
ЗАМЕЧАНИЕ
Аналогично вычисляется дифференциал функции, заданной неявно.
Задача 3.1.9
Найдите дифференциал функции y = y(x), заданной неявно равенством
x2 + y2 + xy = 0 .
Решение
Поскольку переменная y является функцией x , то левая часть заданного уравнения x2 + y 2 + xy также является функцией x . Эта функция тождественно равна нулю. Следовательно, ее дифференциал тождественно равен нулю, то есть
d (x2 + y2 + xy )= 0 .
Вычислим дифференциал каждого слагаемого в левой части, используя правила дифференцирования
d (x2 )+ d (y2 )+ d ( xy )= 0 , или 2x dx + 2 y dy + |
x dy + y dx |
= 0 . |
|
2 xy |
|||
|
|
||
Из полученного равенства определим дифференциал dy . |
|
|
|
21 |
|
|