Производная f ′(x)= 0 при x = ±1 и производная f ′(x) не существует при x = 0 . Вычислим значения функции в этих точках: f (±1)= − 23 . f (0)= 0 . Значения функции на концах заданного промежутка равны: f (±8)=17 13 .

Следовательно, наибольшее значение функции равно 17 13 при x = ±8 , наименьшее значение функции равно − 23 при x = ±1.

3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых

функция a(t) вещественной переменной t .

Задание векторной функции a(t) равносильно заданию трех числовых функций: x(t),

y(t) и z(t) – координат вектора a(t), т.е.

ar(t)= x(t)ir + y(t)j + z(t)k , или a(t)= {x(t), y(t), z(t)}.

Если вектор a(t) является радиус–вектором точки M (x, y, z), то соответствующую векторную функцию обозначают:

r = r (t)= {x(t), y(t), z(t)}.

плоскости z =1 , из которой исключена точка M (−1, 0, 1), соответствующая t → ±∞ .

если предел существует и конечен.

47

Для производной ddta справедлива формула

если a(t)= {x(t), y(t), z(t)}.

Пример 3.2.9

Найти производную вектор–функции rr(t)= sin t i +cos2 t j +sin t cost kr.

Решение

drr(t)= cost ir − 2cost sin t rj + cos 2t kr. dt

Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость

Уравнение касательной к пространственной кривой x = x(t), y = y(t), z = z(t) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ), соответствующей значению параметра t0 имеет вид:

x − x0 = y − y0 = z − z0 . dxdt (t0 ) dydt (t0 ) dzdt (t0 )

Уравнение нормальной плоскости в этой же точке записывается в виде dxdt (t0 )(x − x0 )+ dydt (t0 )(y − y0 )+ dzdt (t0 )(z − z0 )= 0 .

Решение

Данной точке соответствует значение параметра t =1.

Поскольку dxdt = dydt = 2t , dzdt = 3t2 . То уравнение касательной имеет вид:

а уравнение нормальной плоскости запишется в виде:

2x + 2 y +3z −7 = 0 .

Дифференциальные характеристики плоских кривых

Пусть в плоскости xOy годографом вектор–функции r = r (s)= {x(s), y( )} является

x = x(s)

плоская кривая y = y(s), где s – длина дуги кривой.

Определение 3.2.9

Кривизной кривой в точке M0 называется число, равное абсолютной величине предела отношения угол поворота касательной, соответствующей дуге M0M , к длине этой дуги, если предел существует, т.е.

48

Определение 3.2.10

Окружностью кривизны кривой в ее точке M (x, y) называется предельное положение окружности, проведенной через точку M и две другие точки P и Q этой кривой при P → M и Q → M .

При этом радиусом этой окружности будет радиус кривизны кривой в точке M , а центр окружности кривизны (центр кривизны) лежит на нормали к кривой, проведенной в точке M (x, y) в сторону вогнутости кривой.

Координаты X и Y центра кривизны определяются формулами:

Определение 3.2.11

Эволютой кривой называется линия, которую описывает центр кривизны при движении точки по этой кривой. Уравнения (3.2.5) являются параметрическими уравнениями эволюты.

Пример 3.2.12

Написать параметрические уравнения эволюты кривой y = x2 .

Решение

Поскольку y′ = 3x2 , y′′ = 6x , то, используя формулу (3.2.5), получим

50