- •3.1. Производные и дифференциалы
- •3.1.1. Производная и ее геометрический смысл
- •Определение 3.1.1
- •Определение 3.1.2
- •Геометрический смысл производной
- •Доказательство
- •3.1.2. Дифференцируемая функция
- •Определение 3.1.3
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции
- •Доказательство
- •Определение 3.1.4
- •3.1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
- •Теорема 3.1.1
- •Доказательство
- •Задача 3.1.1
- •Задача 3.1.1
- •Определение 3.1.5
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •Производная функции, тождественно равной постоянной
- •Производная суммы и разности функций
- •Доказательство
- •Производная произведения функций
- •Доказательство
- •Следствие
- •Доказательство
- •Производная частного
- •Доказательство
- •Теорема о производной обратной функции
- •Доказательство
- •Производная сложной функции
- •Доказательство
- •3.1.5. Производные основных элементарных функций
- •Производная степенной функции
- •Доказательство
- •Производная экспоненциальной и показательной функций
- •Доказательство
- •Производная логарифмической функции
- •Доказательство
- •Производные тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные гиперболических функций
- •Доказательство
- •Пример 3.1.2
- •Решение
- •Задача 3.1.3
- •Решение
- •3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •Задача 3.1.4
- •Решение
- •Задача 3.1.5
- •Решение
- •3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение 3.1.6
- •Правила дифференцирования
- •Задача 3.1.6
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.8. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Задача 3.1.7
- •Решение
- •Производная функции, заданной неявно
- •Задача 3.1.8
- •Решение
- •Задача 3.1.9
- •Решение
- •3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Задача 3.1.10
- •Решение
- •3.1.10. Производные высших порядков
- •Определение 3.1.7
- •Задача 3.1.11
- •Решение
- •Задача 3.1.12
- •Решение
- •Задача 3.1.13
- •Решение
- •Задача 3.1.14
- •Решение
- •Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.11. Дифференциалы высших порядков.
- •Определение 3.1.8
- •Формула второго дифференциала
- •Доказательство
- •Задача 3.1.15
- •Решение
- •Задача 3.1.16
- •Решение
- •3.1.12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правила Лопиталя
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Задача 3.1.17
- •Решение
- •Задача 3.1.18
- •Решение
- •Задача 3.1.19
- •Решение
- •3.1.13. Формула Тейлора и ее применение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.2
- •Доказательство
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.3
- •Доказательство
- •Определение 3.1.10
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Задача 3.1.20
- •Решение
- •Задача 3.1.21
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Задача 3.1.22
- •Решение
- •Задача 3.1.23
- •Решение
- •Задача 3.1.24
- •Решение
- •3.2. Исследование функций с помощью производных
- •3.2.1. Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 3.2.1
- •Определение 3.2.2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3.2.3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Задача 3.2.1
- •Решение
- •Задача 3.2.2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Задача 3.2.3
- •Решение
- •3.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 3.2.4
- •Определение 3.2.5
- •Теорема 3.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 3.2.2
- •Доказательство
- •Определение 3.2.6
- •Теорема 3.2.3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Задача 3.2.4
- •Решение
- •Задача 3.2.5
- •Решение
- •3.2.3. Асимптоты графика функции.
- •Определение 3.2.7
- •Задача 3.2.6
- •Решение
- •Определение 3.2.8
- •Теорема 3.2.3
- •Доказательство
- •Задача 3.2.7
- •Решение
- •3.2.4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Задача 3.2.8
- •Решение
- •3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых
- •Пример 3.2.8
- •Решение
- •Пример 3.2.9
- •Решение
- •Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
- •Пример 3.2.10
- •Решение
- •Дифференциальные характеристики плоских кривых
- •Определение 3.2.9
- •Определение 3.2.10
- •Определение 3.2.11
- •Пример 3.2.11
- •Решение
- •Пример 3.2.12
- •Решение
Чтобы вычислить вторую производную, учтем, что производная y′x также является
параметрически заданной функцией. |
То |
есть первая |
производная y′x задана |
|||
x = t3 |
+3t 2 + 4 |
|
||||
|
|
sin 2t . |
|
|||
параметрическими уравнениями |
y′x = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3t |
2 |
+ 6t |
|
|||
|
|
|
|
|||
Для вычисления второй производной можно дифференцирования, что и для первой.
|
|
(sin 2t |
)′ |
|
|
2cos 2t (3t2 +6t )−sin 2t (6t+6) |
||||
|
|
|
|
(3t |
2 |
2 |
|
|||
|
|
2 |
t |
|
|
|||||
y′′2 |
= |
|
3t +6t |
= |
|
|
+6t ) |
|||
(t 3 +3t 2 + 4)′t |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
3t |
2 + 6t |
|||||
использовать то же |
правило |
|||
= |
6 (cos 2t (t 2 + 2t)−sin 2t (t +1)) |
. |
||
(3t 2 + 6t)3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Механический смысл первой и второй производной
Если x(t) – путь, пройденный материальной точкой, движущейся прямолинейно, за время t , то x′(t) – скорость точки в момент времени t , а x′′(t) – ее ускорение в момент времени t .
Доказательство
Средняя |
скорость |
между |
моментами |
времени |
t |
и |
t + |
t |
равна |
vср. = |
x , где |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
x = x(t + t)− x(t) – путь, пройденный за время |
t . Скорость v(t) в момент времени t |
|||||||||||||||
определяется как предел средней скорости за промежуток времени |
t |
при |
t → 0 . |
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t)= lim vср. = lim |
x |
= x′(t). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t→0 |
t→0 |
t |
|
v , |
|
|
|
|
|
|
Среднее |
ускорение |
за временя |
t |
равно |
aср. |
= |
где |
v = v(t + t)− v(t) – |
||||||||
|
|
|
|
|
t . Ускорение a(t) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
изменение скорости за время |
в момент времени t |
определяется как |
||||||||||||||
предел |
среднего ускорения |
за |
промежуток |
времени |
t |
при |
|
t → 0 . |
Тогда |
|||||||
a(t)= lim aср. = lim |
v |
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
= v (t) |
= x (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t→0 |
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
x(t) – смещение материальной точки за время t |
вдоль оси Ox под действием |
||||||||||||||
силы F(t), то, используя второй закон Ньютона m a = F , можно записать уравнение ее движения m x′′(t)= F(t), где m – масса точки, а F - равнодействующая всех сил, приложенных к ней.
3.1.11. Дифференциалы высших порядков.
Определение 3.1.8
Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема в точке x . Дифференциалом второго порядка от функции f (x) или вторым дифференциалом в точке x называется дифференциал от ее первого дифференциала d(dy). Второй дифференциал обозначается d 2 y .
25
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка d 3 y , четвертого порядка d 4 y , и так далее.
Формула второго дифференциала
Если функция y = f (x) дважды дифференцируема и x – независимая переменная, то формула для второго дифференциала имеет вид:
|
2 |
′′ |
2 |
d y = |
|
||
f (x) (dx) . |
|||
Доказательство |
|
|
|
По определению второго дифференциала |
d 2 y = d(dy). Используя формулу для |
||
первого дифференциала dy , получим |
|
|
|
d 2 y = d (f ′(x) dx)= d(f ′(x)) dx + f ′(x) d(dx).
Так как для независимой |
переменной дифференциал dx равен приращению x и не |
зависит от переменной x , |
то d (dx)= 0 . Тогда |
d 2 y = d(f ′(x)) dx = f ′′(x) dx dx = f ′′(x) dx2 .
Формула дифференциала n – го порядка
Если x – независимая переменная, то формула для дифференциала n – го порядка имеет вид:
d n y = f (n)(x) (dx)n .
Задача 3.1.15
Найти дифференциал второго порядка для функции y = esin x .
Решение
Формула для второго дифференциала имеет вид: d 2 y = y′′ (dx)2 .
Вычислим первую производную: y′ = esin x cos x . Затем вычислим вторую производную:
y′′ = esin x cos x cos x + esin x (−sin x).
Проведем в полученном выражении все упрощения. Получим y′′ = esin x (cos2 x −sin x).
Подставив, найденную формулу для второй производной в формулу дифференциала, окончательно запишем второй дифференциал в виде:
d 2 y = esin x (cos2 x −sin x) dx2 .
Задача 3.1.16
Найти формулу для дифференциала n – го порядка d n y функции y = sin x .
Решение
При решении используем формулу для дифференциала n – го порядка d n y = f (n)(x) (dx)n .
26