- •4.1. Первообразная. Простейшие способы интегрирования
- •4.1.1. Первообразная функция
- •Определение 4.1.1.
- •Пример 4.1.1
- •Теорема 4.1.1
- •Доказательство
- •Теорема 4.1.2
- •Доказательство
- •4.1.2. Неопределенный интеграл и его свойства
- •Определение
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •4.1.3. Таблица неопределённых интегралов
- •4.1.4. Интегрирование методом замены переменной
- •Пример 4.1.3
- •Пример 4.1.4
- •Пример 4.1.5
- •Пример 4.1.6
- •Пример 4.1.7
- •4.1.5. Интегрирование по частям
- •Интегралы, берущиеся "по частям"
- •Пример 4.1.8
- •Пример 4.1.9
- •Пример 4.1.10
- •4.2. Интегрирование алгебраических дробей
- •4.2.1. Многочлен в комплексной плоскости. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на множители первой и второй степени
- •Определение 4.2.1
- •Определение 4.2.2
- •Определение 4.2.3
- •Определение 4.2.4
- •Определение 4.2.5
- •Определение 4.2.6
- •Теорема Гаусса (основная теорема алгебры)
- •Теорема 4.2.1
- •Определение 4.2.6
- •Следствие из теоремы Гаусса
- •Теорема 4.2.2
- •Задача 4.2.1
- •Решение
- •4.2.2. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Определение
- •Пример 4.2.1
- •4.2.3. Интегрирование рациональных дробей
- •Пример 4.2.2
- •Тема 4.3. Подстановки, применяемые при интегрировании
- •4.3.1. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •Пример 4.3.1
- •Пример 4.3.2
- •Пример 4.3.3
- •4.3.2. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •Пример 4.3.5
- •Пример 4.3.6
- •Пример 4.3.7
- •Пример 4.3.8
- •4.4. Определенные интегралы и их приложения
- •4.4.1. Понятие определенного интеграла
- •Определение 4.4.1
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •4.4.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница
- •Теорема 4.4.1. (теорема Барроу)
- •Доказательство
- •Теорема 4.4.2 (Праввило Ньютона – Лейбница)
- •Доказательство
- •Пример 4.4.1
- •4.4.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •Теорема 4.4.3
- •Доказательство
- •Пример 4.4.2
- •Теорема 4.4.4
- •Теорема 4.4.5
- •4.4.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Пример 4.4.3
- •4.4.6. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вычисление площадей в декартовых координатах
- •Пример 4.4.4
- •Решение
- •Пример 4.4.5
- •Решение
- •Вычисление площадей, если линии заданы параметрически
- •Площадь сектора в полярных координатах
- •Пример 4.4.6
- •Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
- •Объем тела вращения
- •Пример 4.4.7
- •Решение
- •Длина дуги в декартовых координатах
- •Длина дуги кривой, заданной параметрически
- •Длина дуги кривой в полярных координатах
- •Пример 4.4.7
- •Решение
- •Площадь поверхности тела вращения
- •Пример 4.4.8
- •Решение
- •Приложение определенного интеграла к решению физических и механических задач
- •Пример 4.4.9
- •Решение
- •4.5. Несобственные интегралы
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования
- •Пример 4.5.1
- •Решение
- •Теорема 1 (Признак сравнения)
- •Пример 4.5.2
- •Решение
- •Теорема 4.5.2
- •Пример 4.5.3
- •Решение
- •Теорема 4.5.4 (Предельный признак сравнения)
- •Пример 4.5.4
- •Пример 4.5.5
- •Несобственный интеграл от разрывной функции
- •Пример 4.5.6
- •Теорема 4.5.5. (Признак сравнения)
- •Теорема 4.5.6
- •Теорема 4.5.7
- •Пример 4.5.7
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
Направление подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»;
Профили подготовки: 1.180100.62.01 «Кораблестроение», 1.180100.62.03 «Океанотехника».
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии
Форма обучения: очная
Санкт-Петербург
2011
1
Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной
4.1. Первообразная. Простейшие способы интегрирования
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Простейшие способы интегрирования. Методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
4.1.1.Первообразная функция
Вразделе 3 мы ввели понятие производной и научились находить производную от данной функции.
Вэтой главе мы будем решать обратную задачу, а именно: известна функция f (x) ,
требуется найти такую функцию F(x) , производная которой равна |
f (x) , т.е. F ' (x) = f (x) . |
||||||||||||||||
Определение 4.1.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Функция F(x) называется первообразной для функции |
f (x) |
на интервале |
(a; b) , |
если |
||||||||||||
F(x) |
дифференцируема на (a; b) и F ' (x) = f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЗАМЕЧАНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Аналогично можно определить понятие первообразной на отрезке [a;b], но в точках |
а и |
b надо |
||||||||||||||
|
рассматривать односторонние производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4.1.1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
1) |
F(x) = |
x есть первообразная для функции f(x) = |
|
|
на (0; ∞) , т.к. ( |
x )' = |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
2 |
x |
|||||
2) |
Для функции f (x) = x2 первообразной будет функция |
F(x) = |
x3 |
на |
(−∞;+∞) , |
|
т.к. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
' |
= x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 4.1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С – |
|
|
|
||||
|
Если F(x) |
первообразная для функции f (x) на (a; b) , |
то |
F(x) +C , где |
любое |
||||||||||||
постоянное число, также первообразная для f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(F(x) +C)' = F ' (x) + 0 = F ' (x) = f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 4.1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если F1(x) |
и F2 (x) – две первообразные для f (x) |
на |
(a; b) , то на (a; b) справедливо |
|||||||||||||
F1(x) − F2 (x) = C , где С – постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
По условию F '1(x) − F '2 (x) = f (x) . Составим функцию Ф(x) = F (x) − F (x) |
и найдём ее |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
производную x (a;b) :
Ф' (x) = (F1( x) − F2 ( x))' = F1' ( x) − F2' (x) = f (x) − f (x) = 0 .
Следовательно Ф(x) = C , т.е. F1(x) − F2 (x) = C .
2