4.3.1. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
1. Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную иррациональность n ax +b (a ≠ 0) , то полезна подстановка t = n ax +b .
Пример 4.3.1
∫ |
|
xdx |
= |
|||
3 |
x +1 |
|||||
= 3∫(t 4 −t)dt = 3 |
t5 |
|
||||
|
||||||
|
|
|
5 |
|
||
|
k1 |
ax + |
||||
2. В интегралах вида ∫R x, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t= 3 x +1
x = t3 −1 = 3∫(t3 −1)t t2dt = dx = 3t2dt
−3 |
t |
2 |
+ C = 3 |
(x +1) |
5 |
− |
3 |
(x |
||||
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
5 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
b, |
k2 |
ax + b,K, |
km |
ax |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+ b dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
+1) 3 +C .
надо сделать подстановку
ax +b = t n , где n = НОК( k , k |
2 |
,Kk |
m |
) . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
3. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности ∫ |
|
dx |
с помощью |
||||
ax |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
+bx +c |
|
|
добавления квадратного трёхчлена ax2 +bx +c до полного квадрата сводится к одному из
двух интегралов ∫ |
|
dx |
|
, которые являются табличными. |
||||||||||||
|
a ± x |
2 |
||||||||||||||
Пример 4.3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
dx |
= ∫ |
|
dx |
= ∫ |
|
d (x − 3) |
= |
||||||
|
|
x2 − 6x +13 |
(x − 3)2 + 4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x − 3)2 + 4 |
|||||||||
|
|
x −3 = t |
|
|
|
dt |
|
|
+C = |
|||||||
= |
|
|
= ∫ |
|
|
= ln |
t + t2 + 4 |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ln x −3 + 
x2 −6x +13 +C .
4. Интегралы вида ∫R(x2n , 
a2 − x2 )dx
∫R(x2n , 
a2 + x2 )dx
∫R(x2n , 
x2 − a2 )dx
интегрируются с помощью следующих тригонометрических подстановок:
x= a cos t(a sin t)
∫R(x2n , 
a2 − x2 )dx = 
a2 − x2 = 
a2 − a2 cos2 t = a sin t ;
dx = −a sin tdt
x= a tg t(a ctg t)
∫R(x2n , 
a2 + x2 )dx = 
a2 + x2 = a cos1 t ;
dx = a dt cos2 t
15