4.2. Интегрирование алгебраических дробей

Комплексные числа. Многочлен в комплексной области. Основная теорема высшей алгебры. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на множители первой и второй степени. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Способы определения коэффициентов разложения. Интегрирование рациональной дроби.

4.2.1. Многочлен в комплексной плоскости. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на множители первой и второй степени

x1 = x2 , y1 = y2 .

Множество комплексных чисел обозначается C.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Понятия "больше" и "меньше" для комплексных чисел, вообще говоря, не имеют смысла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Из (4.2.1) и (4.2.2) следует, что комплексное число z = (x, y) может быть записано в виде

(x, y)= (x, 0)+(0, 1)(y, 0)

Если теперь число (x, 0) считать вещественным, а число (0, 1) не вещественным, а мнимым и его обозначать через i , то комплексное число z = (x, y) можно представить в виде

z = x +i y .

Запись комплексного числа в виде z = x +i y называется алгебраической формой комплексного

числа. Из (4.4.2) следует, что i2 = (0, 1) (0, 1)= −1 . Поэтому число i называют мнимой единицей.

Определение 4.2.3

Комплексное число z = x −i y называется комплексно сопряжённым числу z = x +i y . Введем на плоскости прямоугольную Декартову систему координат. Будем изображать

комплексное число z = (x, y) точкой (x, y) плоскости (рис. 4.2.1). Это ознчает, что на оси Ox отмечаются вещественные части комплексных чисел, а на оси Oy – мнимые. Числу z =0 ставится в соответствие начало координат.

8

Определение 4.2.4

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной (или вещественной) осью, а ось

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r называется аргументом числа z : ϕ = arg z . Положительным направлением изменения угла ϕ

считается направление против часовой стрелки. Очевидно, что r = z = x2 + y2 , tgϕ = xy .

Для каждого числа z ≠0 его аргумент имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π (действительно, совершив любое количество полных оборотов, мы возвращаемся в эту же точку). Аргумент числа z =0 не определён (а его модуль равен нулю). В качестве главного значения величины arg z обычно выбирают значение из промежутка (−π,π]. Всё множество значений аргумента обозначают Arg z . Таким образом, Arg z = arg z + 2πk ( k = 0,±1,±2,K).

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Иногда удобно считать 0 ≤ arg z < 2π или − π2 ≤ arg z < 32π .

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Модули комплексного и сопряжённого ему числа равны: z = z . Аргументы отличаются знаком:

Arg z = −Arg z .

Так как r и ϕ являются полярными координатами точки (x, y), то x = r cosϕ , y = r sinϕ , и, следовательно,

z = r(cosϕ +i sinϕ).

Эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической. Для комплексных чисел справедлива формула Эйлера

9

с помощью которой можно перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к показательной (экспоненциальной)

z= reiϕ .

Впоказательной форме удобно проводить умножение комплексных чисел. Если z1 = r1eiϕ1 ,

z1 = r1eiϕ2 , то

z1 z2 = r1r2ei(ϕ1 +ϕ2 ).

Из правила умножения следует правило возведения комплексного числа в натуральную

степень: для z = reiϕ получаем

zn = rneinϕ ,

Извлечь корень целой положительной степени n из числа z —значит найти такое число

w = n z , n -я степень которого равна z. Если z = reiϕ , w = ρeiθ , то

z = wn = ρneinθ = reiϕ = = rei(ϕ+2π k ).

( k = 0,1,K, n −1 ).

Получим n различных значений корня. Все они имеют один и тот же модуль, равный n z ;

аргументы значений wk и wk +1 отличаются один от другого на 2nπ . Поэтому точки,

соответствующие значениям n z , являются вершинами правильного n –угольника, вписанного в окружность радиуса n z с центром в начале координат.

Определение 4.2.5

Многочленом (полинимом) или целой рациональной функцией n – й степени называется

где z C , n N , an , an −1,..., a1, a0 – коэффициенты (вообще говоря, комплексные), an ≠ 0 .

Определение 4.2.6

Число z0 называется корней многочлена Pn (z), если Pn (z0 ).

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры)

Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный).

Теорема 4.2.1

Число z0 является корнем мнгочлена Pn (z) тогда и только тогда, когда он делится без остатка на на бином z − z0 , т.е.

Pn (z)= (z − z0 )Qn −1 (z)

где Qn −1 (z) – многочлен степени n −1 .

10

Следствие из теоремы Гаусса

Многочлен n – й степени имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова

Многочлен n – й степени с вещественными коэффиициентами

Если коффициенты an , an −1,..., a1, a0 многочлена Pn (z) – вещественные числа, то:

той же кратности;

•разложение (4.2.5) можно получить в виде линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим

11