где (x2 + p1x + q1 ) и (x2 + p2 x + q2 ) не имеют вещественных корней, то правильная дробь
Pn (x) может быть представлена в виде:
Qm (x)
Pn (x) |
= |
A |
+K+ |
B1 |
+ |
B2 |
+K+ |
Bk |
+K+ |
|
Qm (x) |
x − a |
(x −b) |
( x −b)2 |
(x −b)k |
||||||
|
|
|
|
|
+ |
Сx + D |
|
+K+ |
M1x + N1 |
|
|
+K+ |
Mm x + Nm |
. |
||||
|
|
|
|
) |
|
||||||||
x2 + p x + q |
|
(x2 + p |
2 |
x + q |
2 |
|
(x2 + p |
2 |
x + q )m |
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
Т.е. правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей, которые интегрируются в элементарных функциях.
Пример 4.2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2 |
|
A |
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
1 |
|
|
+ |
2 |
. |
|
(x +1)2 (x − 2) |
x − |
2 |
x + |
1 |
(x +1)2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2 = A(x2 + 2x +1) + B (x2 |
− x − 2) + B (x − 2) , |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
то из тождественного равенства многочленов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях правой и левой частей равенства. Получим
x2 |
|
1 = A + B |
|
|
|
||
x1 |
|
1 |
|
|
0 = 2 A − B1 + B2 . |
||
x0 |
|
2 = A − 2B − |
2B |
|
|
1 |
2 |
Или, подставляя значения х в правую и левую части равенства, получим;
х = −1 |
|
3 = −3B2 |
|
|
|
A = |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
x = 2 |
|
6 = 9 A |
|
|
|
|
|
|
B |
= 1 |
|
|||||||||||
x = 0 |
|
2 = A − 2B − 2B |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
B |
|
= −1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
|
+ |
|
3 |
|
|
− |
|
. |
|||||
(x +1)2 (x − |
2) |
|
x − 2 |
x |
+ |
1 |
(x +1)2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пусть требуется вычислить интеграл ∫Pm (x) dx . Если данная дробь неправильная, то мы
Qn (x)
представим её в виде суммы многочлена M (x) и правильной рациональной дроби Pk (x) ,
Qn (x)
которая представима в виде суммы простейших дробей.
Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.
∫ |
x2 +2 |
2 |
∫ |
dx |
|
1 |
∫ |
dx |
−∫ |
dx |
|
||
|
dx = |
3 |
|
+ |
3 |
|
|
|
= |
||||
(x +1)2 (x −2) |
x −2 |
x +1 |
(x +1)2 |
||||||||||
= 23 ln x − 2 + 13 ln x +1 + x 1+1 +C .
Тема 4.3. Подстановки, применяемые при интегрировании
Интегрирование рациональных функций от радикалов и от тригонометрических функций.
14