Mх + N

M

(2x + p) + (N −

Mp

)

4. ∫

dx =

∫

2

2

dx =

(x

2

m

(x

2

+ px

+ q)

m

+ px + q)

=

M

∫

(2x + p)dx

+ (N

−

Mp )∫

dx

=

2

(x2 + px + q)m

(x2 + px + q)m

2

d(x +

p

M

d (x2 + px + q)

Mp

)

=

∫

+ (N

−

)∫

2

=

2

(x2 + px + q)m

2

(x +

p

2

(q

p2

m

)

+

−

)

2

4

x +

p

= t

M

1

Mp

dt

=

2

= =

+(N −

)∫

.

q −

p

2

= a

2

2

(x2

+ px +q)m−1(m −1)

2

(t2

+a2 )m

14243

4

Im

Im

Рассмотрим

интеграл

и получим для него рекуррентную формулу, т.е. формулу

позволяющую вычислить интеграл Im , если мы знаем интеграл Im−1 .

Для этого рассмотрим Im−1

=

dt

=

∫(t2 + a2 )m−1

u =

1

du

= −(m −1) (t2 + a2 )−m 2tdt

=

(t2 + a2 )m−1

=

d υ = dt

υ = t

t

t2dt

t

(t2

+ a2 ) − a2

=

+ 2(m

−1)∫

=

+ 2(m −1)∫

dt =

(t

2

+ a

2

)

m−1

(t

2

+ a

2

)

m

(t

2

+ a

2

)

m−1

(t

2

+ a

2

)

m

t

1

dt

=

+ 2(m −1)

∫

dt

− а2 ∫

(t2 + a2 )m−1

(t2 + a2 )m−1

(t2

+ a2 )m

14424443

14243

Im−1

Im

Таким образом, получили:

t

Im−1 =

+ 2(m −1)Im−1 − 2(m −1)a2 Im

(t2 + a

2 )m−1

Im

=

t

+ 2(m −1) −1 Im−1

2(m

−1)a2 (t2

+ a2 )m−1

2(m −1)a2

Пример 4.2.1

dt

t

2 1 −1

∫

=

+

I1

=

(t2 +1)2

2 1 1(t2 +1)

2 1 1

=

t

+

1

∫

dt

=

t

+

1

arctg t +C .

2(t 2 +1)

2

(t

2 +

1)

2(t 2 +1)

2

4.2.3. Интегрирование рациональных дробей

Теорема

Если

Q (x) = (x −a)K(x −b)k K(x2 + p x + q ) K (x2 + p

2

x + q )m

,

m

1

1

2

13