∫

cos x

dx , ∫

sin x

dx – интегральные косинус, синус.

x

x

4.1.4. Интегрирование методом замены переменной

Пусть

требуется найти интеграл

∫ f (x)dx ,

причём

непосредственно подобрать

первообразную для f (x) мы не можем, но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной: x = u(t) ,

где u(t) –

непрерывная функция с непрерывной

′

производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx = u (t)dt . Докажем, что в этом случае

имеет место равенство:

′

(4.4.1)

∫ f (x)dx = ∫ f (u(t)) u (t)dt .

1

dt

′

= f (u(t)) = f (x) .

′

= f (u(t)) u (t)

u (t)

Производные равны и равенство (1) доказано.

Пример 4.1.3

∫sin x cos xdx =

t = sin x

=

∫tdt =

t2

+ C =

sin2 x

+C .

dt = cos xdx

2

2

Пример 4.1.4

x −5 = t

2t5

10t3

∫x

x −5dx =

x = t2 + 5

= ∫(t2 + 5)t 2tdt =

+

+ C =

5

dx = 2tdt

3

=

2( x −5 )5

+

10( x −5 )3

+ С .

5

3

∫

Если

F(x)

-

первообразная

для

f (x) ,

то

из

равенства

(1) следует, что если

∫

{

f (x)dx = F(x) +C

′

= F(u) +C .

, то f (u) u dt

du

Отсюда ∫ f (u)du = F(u) +C .

На

основании этого

свойства

получаем обобщенную

∫un du =

un+1

+C , где (n ≠ −1)

или ∫

du

= ln

u

+C

и т.д.

n +1

u

1)

dx = d(x +b) , где b = const ;

2)

dx =

1

d(ax +b) , где

a ≠ 0 ;

a