- •4.1. Первообразная. Простейшие способы интегрирования
- •4.1.1. Первообразная функция
- •Определение 4.1.1.
- •Пример 4.1.1
- •Теорема 4.1.1
- •Доказательство
- •Теорема 4.1.2
- •Доказательство
- •4.1.2. Неопределенный интеграл и его свойства
- •Определение
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •4.1.3. Таблица неопределённых интегралов
- •4.1.4. Интегрирование методом замены переменной
- •Пример 4.1.3
- •Пример 4.1.4
- •Пример 4.1.5
- •Пример 4.1.6
- •Пример 4.1.7
- •4.1.5. Интегрирование по частям
- •Интегралы, берущиеся "по частям"
- •Пример 4.1.8
- •Пример 4.1.9
- •Пример 4.1.10
- •4.2. Интегрирование алгебраических дробей
- •4.2.1. Многочлен в комплексной плоскости. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на множители первой и второй степени
- •Определение 4.2.1
- •Определение 4.2.2
- •Определение 4.2.3
- •Определение 4.2.4
- •Определение 4.2.5
- •Определение 4.2.6
- •Теорема Гаусса (основная теорема алгебры)
- •Теорема 4.2.1
- •Определение 4.2.6
- •Следствие из теоремы Гаусса
- •Теорема 4.2.2
- •Задача 4.2.1
- •Решение
- •4.2.2. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Определение
- •Пример 4.2.1
- •4.2.3. Интегрирование рациональных дробей
- •Пример 4.2.2
- •Тема 4.3. Подстановки, применяемые при интегрировании
- •4.3.1. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •Пример 4.3.1
- •Пример 4.3.2
- •Пример 4.3.3
- •4.3.2. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •Пример 4.3.5
- •Пример 4.3.6
- •Пример 4.3.7
- •Пример 4.3.8
- •4.4. Определенные интегралы и их приложения
- •4.4.1. Понятие определенного интеграла
- •Определение 4.4.1
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •4.4.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница
- •Теорема 4.4.1. (теорема Барроу)
- •Доказательство
- •Теорема 4.4.2 (Праввило Ньютона – Лейбница)
- •Доказательство
- •Пример 4.4.1
- •4.4.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •Теорема 4.4.3
- •Доказательство
- •Пример 4.4.2
- •Теорема 4.4.4
- •Теорема 4.4.5
- •4.4.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Пример 4.4.3
- •4.4.6. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вычисление площадей в декартовых координатах
- •Пример 4.4.4
- •Решение
- •Пример 4.4.5
- •Решение
- •Вычисление площадей, если линии заданы параметрически
- •Площадь сектора в полярных координатах
- •Пример 4.4.6
- •Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
- •Объем тела вращения
- •Пример 4.4.7
- •Решение
- •Длина дуги в декартовых координатах
- •Длина дуги кривой, заданной параметрически
- •Длина дуги кривой в полярных координатах
- •Пример 4.4.7
- •Решение
- •Площадь поверхности тела вращения
- •Пример 4.4.8
- •Решение
- •Приложение определенного интеграла к решению физических и механических задач
- •Пример 4.4.9
- •Решение
- •4.5. Несобственные интегралы
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования
- •Пример 4.5.1
- •Решение
- •Теорема 1 (Признак сравнения)
- •Пример 4.5.2
- •Решение
- •Теорема 4.5.2
- •Пример 4.5.3
- •Решение
- •Теорема 4.5.4 (Предельный признак сравнения)
- •Пример 4.5.4
- •Пример 4.5.5
- •Несобственный интеграл от разрывной функции
- •Пример 4.5.6
- •Теорема 4.5.5. (Признак сравнения)
- •Теорема 4.5.6
- •Теорема 4.5.7
- •Пример 4.5.7
3)xdx = 12 d(x2 ) ;
4)sin xdx = −d(cos x) ;
5)cos xdx = d(sin x) ;
6)1x dx = d(ln x) ;
7)ex dx = d(ex ) и т.д.
Вообще, ϕ′(х)dx = d(ϕ(x)) . Пользуясь этими преобразованиями дифференциала, найдем
следующие неопределенные интегралы.
Пример 4.1.5
∫ |
dx |
= ∫ |
|
1 |
d(2x +3) |
= |
1 |
ln |
|
2x +3 |
|
|
2 |
|
+C . |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
2x +3 |
|
|
2x +3 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.1.6
∫xex2 dx = 12 ∫ex2 d(x2 ) = x2 = u =
= 12 ∫еudu = 12 eu +C = 12 ex2 +C .
Сформулируем еще одно очень полезное правило:
если ∫ f (x)dx = F(x) +C , то ∫ f (аx +b)dx = 1a F(ax +b) +C ,
где a ≠ 0 , так как
∫ f (аx +b)dx = 1a ∫ f (аx +b)d(аx +b) = 1a F(ax +b) +C .
Пример 4.1.7
∫cos(3x +1)dx = 13 sin(3x +1) +C .
4.1.5.Интегрирование по частям
Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции x . На основании формулы дифференциала произведения имеем:
d(uv) = udv +vdu udv = d(uv) −vdu
Интегрируя это соотношение, получим ∫udv = ∫d(uv) − ∫vdu . Из последнего соотношения получается формула
∫udv = u v − ∫v du
которая называется формулой интегрирования по частям. |
|
|||||
Выведенная |
|
формула |
используется |
в тех случаях, когда интеграл ∫v du |
являяется |
|
табличным или легко к такому приводится. |
|
|||||
Интегралы, берущиеся "по частям" |
|
|
||||
1. Интегралы вида ∫Рп(х) f (x) dx , |
где Pn (x) ― многочлен степени n , f (x) |
― одна из |
||||
следующих функций: sinαx; cosαx; eαx ; aαx . |
|
|||||
В качестве функции u(x) следует |
взять многочлен Pn (x) и применить к |
интегралу |
||||
формулу интегрирования по частям n раз. |
|
|||||
Пример 4.1.8 |
|
|
|
|
|
|
∫x cos xdx = |
|
u = x |
du = dx |
|
= x sin x − ∫sin xdx = |
|
|
|
|
||||
|
|
dv = cos xdx v = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
= x sin x + cos x +C .
Для интегралов такого типа в тех случаях, когда степень многочлена Pn (x) больше 1,
можно использовать "правило многократного интегрирования по частям", которое можно записать в следующем виде:
∫Рп(х) f (x) dx = ∫Pn (x) d (g(x))=Pn (x)g(x)− Pn′(x)∫g(x)dx +
+P′′(x)∫(∫g(x)dx)dx − P′′′(x)∫(∫(∫g(x)dx)dx)dx....
итак до тех пор, пока производная Pnn+1(x) = 0 .
2)∫х2е3хdx = ∫x2d (13 ex )= x2e3x −2x 19 e3x +2 271 e3x −0 .
2. Интегралы вида ∫хп ln k x dx , где п ≠ −1, берутся по частям, причем за функцию u(x)
принимают ln k x и применяют k |
раз формулу интегрирования по частям. |
|
|||||||||||
Пример 4.1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ln 2 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ln 2 xdx = |
du = 2 ln x |
|
|
dx |
= x ln 2 x − 2∫x ln x |
dx = |
|
||||||
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dv = dx |
v = x |
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= x ln 2 x − 2∫ln xdx = |
u = ln x |
du = |
|
dx |
= x ln 2 x − 2(x ln x − ∫dx)= |
|
|||||||
x |
|
||||||||||||
|
|
dv = dx |
v = x |
|
|
|
|
|
|||||
|
= x ln 2 x − 2(x ln x − x)+C . |
|
|
|
|
||||||||
3. Интегралы вида ∫хп f (x) dx , |
где f (x) |
― одна |
из следующих |
функций: |
|||||||||
arcsin k αx; arccosk αx; arctgk αx; arcсtgk αx , также |
берутся "по |
частям", приняв |
за u(x) |
функцию f (x) .
4. В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному применяется формула интегрирования по частям и искомый интеграл определяется из получившегося
алгебраического уравнения. К таким интегралам относятся ∫eαx cosβxdx , ∫eαx sin βxdx и
∫ x2 ± adx – так называемые возвратные интегралы.
Пример 4.1.10
∫ |
|
x2 |
+ а dx = |
u = x2 + а |
|
du = |
|
|
x |
|
|
dx |
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dv = dx |
|
|
|
x2 + а |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
|
|
|
|
||
= x x |
2 |
+ а − ∫ |
x2 |
|
dx = x x |
2 |
+ а − ∫ |
+ a)− a |
dx = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + а |
|
||||||||||||
|
|
|
|
x2 + а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= x x2 + а − ∫ |
x2 + a |
dx + a∫ |
|
|
1 |
|
dx = |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + а |
|
|
|
x2 + а |
|
|
= x x2 + а − ∫ x2 + а dx + a ln x + x2 + а +C .
Сравнивая начало и конец равенства, получим уравнение
2∫ x2 + а dx = x x2 + а + a ln x + x2 + а +C , откуда
7