3)xdx = 12 d(x2 ) ;

4)sin xdx = −d(cos x) ;

5)cos xdx = d(sin x) ;

6)1x dx = d(ln x) ;

7)ex dx = d(ex ) и т.д.

Вообще, ϕ′(х)dx = d(ϕ(x)) . Пользуясь этими преобразованиями дифференциала, найдем

следующие неопределенные интегралы.

Пример 4.1.5

Пример 4.1.6

∫xex2 dx = 12 ∫ex2 d(x2 ) = x2 = u =

= 12 ∫еudu = 12 eu +C = 12 ex2 +C .

Сформулируем еще одно очень полезное правило:

если ∫ f (x)dx = F(x) +C , то ∫ f (аx +b)dx = 1a F(ax +b) +C ,

где a ≠ 0 , так как

∫ f (аx +b)dx = 1a ∫ f (аx +b)d(аx +b) = 1a F(ax +b) +C .

Пример 4.1.7

∫cos(3x +1)dx = 13 sin(3x +1) +C .

4.1.5.Интегрирование по частям

Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции x . На основании формулы дифференциала произведения имеем:

d(uv) = udv +vdu udv = d(uv) −vdu

Интегрируя это соотношение, получим ∫udv = ∫d(uv) − ∫vdu . Из последнего соотношения получается формула

∫udv = u v − ∫v du

= x sin x + cos x +C .

Для интегралов такого типа в тех случаях, когда степень многочлена Pn (x) больше 1,

можно использовать "правило многократного интегрирования по частям", которое можно записать в следующем виде:

∫Рп(х) f (x) dx = ∫Pn (x) d (g(x))=Pn (x)g(x)− Pn′(x)∫g(x)dx +

+P′′(x)∫(∫g(x)dx)dx − P′′′(x)∫(∫(∫g(x)dx)dx)dx....

итак до тех пор, пока производная Pnn+1(x) = 0 .

2)∫х2е3хdx = ∫x2d (13 ex )= x2e3x −2x 19 e3x +2 271 e3x −0 .

2. Интегралы вида ∫хп ln k x dx , где п ≠ −1, берутся по частям, причем за функцию u(x)

функцию f (x) .

4. В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному применяется формула интегрирования по частям и искомый интеграл определяется из получившегося

алгебраического уравнения. К таким интегралам относятся ∫eαx cosβxdx , ∫eαx sin βxdx и

∫ x2 ± adx – так называемые возвратные интегралы.

Пример 4.1.10

= x x2 + а − ∫ x2 + а dx + a ln x + x2 + а +C .

Сравнивая начало и конец равенства, получим уравнение

2∫ x2 + а dx = x x2 + а + a ln x + x2 + а +C , откуда

7