Так как (
x )′ = 2 1 x , то угловой коэффициент k2 касательной к графику функции
y = x в точке абсциссой |
x |
0 |
=1 |
равен: k |
2 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k2 − k1 |
|
|
= |
|
1 |
+1 |
= 3 , |
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
tg ϕ = |
|
|
|
|
2 |
откуда |
следует, |
что |
угол между |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 + k |
k |
2 |
|
1 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
кривыми ϕ = arctg 3 . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Определение 3.1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функция |
f (x) |
дифференцируема в точке x0 , |
принадлежащей ее области |
||||||||||||||||||||
определения и пусть y = f (x0 + x)− f (x0 ) |
– |
приращение функции |
в точке x0 . |
||||||||||||||||||||
Линейная относительно приращения аргумента |
x часть приращения функции в этой |
||||||||||||||||||||||
точке называется ее дифференциалом и обозначается dy . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как приращение |
y |
|
функции, |
дифференцируемой в точке x0 , |
представимо в виде |
||||||||||||||||||
y = f ′(x0 ) |
x + α( x) |
x , |
то линейной относительно |
x частью приращения функции |
|||||||||||||||||||
является первое слагаемое f ′(x0 ) |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из определения следует формула дифференциала: dy = f ′(x0 ) x .
В произвольной точке x формула дифференциала имеет вид:
dy = f ′(x) |
x . |
Поскольку для функции y = x в любой |
′ |
точке производная f (x)=1, то |
дифференциал для нее совпадает с ее приращением, то есть dy = dx = x . Учитывая это, формулу для дифференциала записывают в виде:
dy = f ′(x) dx .
Из определения и формулы дифференциала следует, что при вычислении дифференциала справедливы правила, аналогичные правилам дифференцирования
Правила дифференцирования
•d(c)≡ 0 , если c = const .
• |
d(c f (x))= c d(f (x)), если c = const . |
•d (f (x)± g(x))= d (f (x))± d(g(x)).
•d (f (x) g(x))= d (f (x)) g(x)+ f (x) d (g(x)).
|
|
f (x) |
|
|
d(f (x)) g(x)− f (x) d(g(x)) |
|
g(x)≠ 0 . |
|||
• |
d |
|
= |
, если |
||||||
|
|
g 2 (x) |
|
|||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|||||
Задача 3.1.6
Вычислите дифференциал функции y = cos2 x 
1 − x2 в произвольной точке x .
Решение
По правилу вычисления дифференциала произведения двух функций, запишем
18
|
dy = d(cos |
2 |
x) |
1 − x |
2 |
+ cos |
2 |
x |
d |
|
|
1 − x |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что d(cos2 x)= (cos2 x) ′ dx = 2 cos x (−sin x) dx , |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 ′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
− |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
d |
1 − x |
|
|
= 1 − x |
x dx = |
2 |
(1 |
− x |
|
) |
|
|
(− 2x) dx , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = 2cos x (−sin x) |
1 − x2 dx +cos2 x |
|
1 |
|
|
|
(−2x)dx = |
|||||||||||||||||
2 |
1−x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2cos x |
(−sin x) |
1 − x2 |
+cos2 x |
|
|
|
(−2x) dx . |
|||||||||||||||||
|
1−x2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Геометрический смысл дифференциала
Геометрически дифференциал равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке дифференцируемости.
Доказательство
Пусть AB – касательная, проведенная к графику функции в точке x0 . По формуле дифференциала dy = f ′(x0 ) x . Так как f ′(x0 )= tg α, то dy = tg α x . Из треугольника ABK (рис. 3.1.4), видно, что tg α x = BK , где катет BK является приращением ординаты касательной к графику функции. Следовательно, dy = BK .
Рис. 3.1.4.
Инвариантность формулы дифференциала
Формула для дифференциала dy = f ′(x) dx обладает свойством инвариантности, то есть сохраняет свой вид и в том случае, если x не простая переменная, а некоторая функция.
Доказательство
Было доказано, что для дифференциала справедлива формула dy = f ′(x) dx , если x - простая переменная.
Пусть теперь x является функцией другой переменной t . То есть x = x(t), где t - простая переменная. Тогда функция y = f (x) является сложной функцией простой переменной t : y = y(x(t)). По формуле для дифференциала
dy = [y(x(t))]′t dt . 19