- •3.1. Производные и дифференциалы
- •3.1.1. Производная и ее геометрический смысл
- •Определение 3.1.1
- •Определение 3.1.2
- •Геометрический смысл производной
- •Доказательство
- •3.1.2. Дифференцируемая функция
- •Определение 3.1.3
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции
- •Доказательство
- •Определение 3.1.4
- •3.1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
- •Теорема 3.1.1
- •Доказательство
- •Задача 3.1.1
- •Задача 3.1.1
- •Определение 3.1.5
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •Производная функции, тождественно равной постоянной
- •Производная суммы и разности функций
- •Доказательство
- •Производная произведения функций
- •Доказательство
- •Следствие
- •Доказательство
- •Производная частного
- •Доказательство
- •Теорема о производной обратной функции
- •Доказательство
- •Производная сложной функции
- •Доказательство
- •3.1.5. Производные основных элементарных функций
- •Производная степенной функции
- •Доказательство
- •Производная экспоненциальной и показательной функций
- •Доказательство
- •Производная логарифмической функции
- •Доказательство
- •Производные тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные гиперболических функций
- •Доказательство
- •Пример 3.1.2
- •Решение
- •Задача 3.1.3
- •Решение
- •3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •Задача 3.1.4
- •Решение
- •Задача 3.1.5
- •Решение
- •3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение 3.1.6
- •Правила дифференцирования
- •Задача 3.1.6
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.8. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Задача 3.1.7
- •Решение
- •Производная функции, заданной неявно
- •Задача 3.1.8
- •Решение
- •Задача 3.1.9
- •Решение
- •3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Задача 3.1.10
- •Решение
- •3.1.10. Производные высших порядков
- •Определение 3.1.7
- •Задача 3.1.11
- •Решение
- •Задача 3.1.12
- •Решение
- •Задача 3.1.13
- •Решение
- •Задача 3.1.14
- •Решение
- •Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.11. Дифференциалы высших порядков.
- •Определение 3.1.8
- •Формула второго дифференциала
- •Доказательство
- •Задача 3.1.15
- •Решение
- •Задача 3.1.16
- •Решение
- •3.1.12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правила Лопиталя
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Задача 3.1.17
- •Решение
- •Задача 3.1.18
- •Решение
- •Задача 3.1.19
- •Решение
- •3.1.13. Формула Тейлора и ее применение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.2
- •Доказательство
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.3
- •Доказательство
- •Определение 3.1.10
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Задача 3.1.20
- •Решение
- •Задача 3.1.21
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Задача 3.1.22
- •Решение
- •Задача 3.1.23
- •Решение
- •Задача 3.1.24
- •Решение
- •3.2. Исследование функций с помощью производных
- •3.2.1. Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 3.2.1
- •Определение 3.2.2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3.2.3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Задача 3.2.1
- •Решение
- •Задача 3.2.2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Задача 3.2.3
- •Решение
- •3.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 3.2.4
- •Определение 3.2.5
- •Теорема 3.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 3.2.2
- •Доказательство
- •Определение 3.2.6
- •Теорема 3.2.3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Задача 3.2.4
- •Решение
- •Задача 3.2.5
- •Решение
- •3.2.3. Асимптоты графика функции.
- •Определение 3.2.7
- •Задача 3.2.6
- •Решение
- •Определение 3.2.8
- •Теорема 3.2.3
- •Доказательство
- •Задача 3.2.7
- •Решение
- •3.2.4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Задача 3.2.8
- •Решение
- •3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых
- •Пример 3.2.8
- •Решение
- •Пример 3.2.9
- •Решение
- •Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
- •Пример 3.2.10
- •Решение
- •Дифференциальные характеристики плоских кривых
- •Определение 3.2.9
- •Определение 3.2.10
- •Определение 3.2.11
- •Пример 3.2.11
- •Решение
- •Пример 3.2.12
- •Решение
(sin x)tg3x = eln((sin x)tg 3 x )= etg3x ln(sin x).
Затем вычислим предел показателя
lim |
(tg 3x ln(sin x))= [0 ∞]= lim |
ln(sin x) |
= |
|
∞ . |
|
|
||||
x→0 |
x→0 ctg 3x |
|
|||
|
∞ |
Применяя правило Лопиталя, получим
|
ln(sin x) |
|
∞ |
|
||
lim |
|
|
= |
|
= lim |
|
ctg 3x |
||||||
x→0 |
|
∞ |
x→0 |
1 |
|
cos x |
= −1 |
lim sin2 3x cos x . |
|||
sin x |
|||||||
|
|
|
|||||
|
3 |
|
3 x→0 |
sin x |
|||
− sin 2 3x |
|||||||
|
|
cos x →1, а бесконечно малые при x → 0 функции sin 2 3x и sin x можно заменить под
x→0
знаком предела эквивалентными бесконечно малыми функциями (3x)2 и x . Учитывая это, получим
lim |
ln(sin x) |
|
= −1 lim |
(3x)2 1 |
= −1 lim |
||
ctg 3x |
|
x |
|
||||
x→0 |
3 x→0 |
3 x→0 |
|||||
Тогда lim (sin x)tg 3x = lim etg 3x ln sin x = e0 =1. |
|
||||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
9x |
2 |
= −1 lim(9x)= 0 . |
x |
|
3 x→0 |
3.1.13. Формула Тейлора и ее применение
Многочлен Тейлора
Многочленом n – й степени относительно переменной x называется многочлен вида
|
|
P |
(x)= a |
+ a x + a x2 +... + a xn . |
|
|
|||
|
|
n |
0 |
|
1 |
2 |
n |
|
|
Многочлен вида |
T |
(x)= a + a (x − x |
)+ a |
(x − x )2 +... + a |
(x − x )n |
также является |
|||
|
n |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
многочленом n – й степени относительно переменной |
x . Если раскрыть все скобки и |
привести подобные члены, то его можно привести к виду, в котором записан многочлен |
||||||||||||
Pn (x). Многочлен Tn (x) |
в отличие от многочлена Pn (x) называют многочленом n – й |
|||||||||||
степени относительно переменной x , записанным по степеням x − x0 . |
|
|||||||||||
Определение 3.1.9 |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функция |
n раз дифференцируема в точке x0 . Многочлен n – й степени |
|||||||||||
относительно переменной |
x , записанный по степеням x − x0 , |
называется многочленом |
||||||||||
Тейлора для функции |
f (x) |
в точке x0 , если: в этой точке равны значения функции |
f (x) |
|||||||||
и многочлена Tn (x), |
а также значения всех их производных до производных n |
– го |
||||||||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения следует, что многочлен вида |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
T (x)= a + a |
(x − x )+ a (x − x )2 |
+... + a (x − x )n |
|
||||||
|
|
|
n |
|
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|
является |
многочленом |
Тейлора |
для функции |
f (x) |
в точке |
x0 , если выполняются |
||||||
равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tn (x0 )= f (x0 ); |
Tn′(x0 )= f ′(x0 ); ...; Tn(n)(x0 )= f (n)(x0 ) . |
|
|||||||||
На |
основании |
определения |
можно |
получить |
формулы для коэффициентов |
|||||||
a0 , a1,..., an многочлена Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
Теорема 3.1.2
Если многочлен
31
|
|
T (x)= a |
0 |
+ a |
(x − x |
0 |
)+ a |
2 |
(x − x |
0 |
)2 +... + a |
n |
(x − x |
0 |
)n |
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
является многочленом |
Тейлора |
функции |
|
f (x) |
в |
точке |
x0 , |
то его коэффициенты |
||||||||||||||||||||
a0 , a1,..., an определяются по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
0 |
= f (x |
0 |
); |
a |
= |
f '(x |
0 |
); a |
2 |
= |
f ''(x0 ) |
;......; |
a |
n |
= |
f (n)(x0 ) |
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
n! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство |
|
и Tn (x0 )= f (x0 ), то a0 = f (x0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Так как Tn (x0 )= a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вычислим производную от многочлена Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tn ' (x)= a1 + a2 2 (x − x0 )+ a3 3 (x − x0 )2 +...
и подставим в это равенство x = x0 . Получим Tn′(x0 )= a1 .
Поскольку из определения многочлена Тейлора следует, что должно быть выполнено условие Tn′(x0 )= f ′(x0 ), то
a1 = f '(x0 ).
Вычислим вторую производную от многочлена Тейлора
|
T ''(x)= 2 a |
+ a |
3 2 (x − x |
)+ a |
4 3 (x − x )2 |
+... |
||||||||||
|
n |
2 |
3 |
|
|
0 |
4 |
0 |
|
|||||||
Подставив в это равенство x = x0 , получим, что Tn′′(x0 )= 2 a2 . Так как для многочлена |
||||||||||||||||
Тейлора справедливо Tn′′(x0 )= |
f ′′(x0 ), то 2a2 = f ′′(x0 ), откуда следует, что |
|||||||||||||||
|
|
|
a = |
f ''(x0 ) |
= |
|
f ''(x0 ) |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2! |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислим третью производную от многочлена Тейлора |
|
|||||||||||||||
|
′′′ |
|
3 2 + a4 4 3 2 (x − x0 )+... |
|
||||||||||||
|
Tn |
(x)= a3 |
|
|||||||||||||
и подставим в нее x = x0 . Получим |
|
|
|
′′′ |
|
|
Так как должно быть выполнено |
|||||||||
|
Tn (x0 )= 3 2 a3 . |
|||||||||||||||
′′′ |
′′′ |
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|||||
условие Tn (x0 )= |
f (x0 ), то 3 2 a3 = f |
|
(x0 ), откуда следует, что |
|
||||||||||||
|
|
|
a3 |
= |
|
f ′′′(x0 ) |
= |
|
f ′′′(x0 ) |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
3! |
|
|
|
|
Последовательно дифференцируя n раз многочлен Тейлора и подставляя в вычисленную производную x = x0 , получим формулу для коэффициента an при любом значении n :
an = f '(nn)!(x0 ) .
Формулы Тейлора и Маклорена
Пусть функция f (x) n раз дифференцируема в некоторой окрестности Uδ(x0 ) точки x0 и пусть Tn (x) – ее многочлен Тейлора в точке x0 . Если обозначить Rn (x)= f (x)−Tn (x), то функцию f (x) в окрестности Uδ(x0 ) точки x0 можно представить формулой:
f (x)=Tn (x)+ Rn (x) |
(3.1.1) |
или
32
f (x)= f (x0 )+ f '1(!x0 ) (x − x0 )+ f ''2(!x0 ) (x − x0 )2 + ... + f (nn)(!x0 )(x − x0 )n + Rn (x). (3.1.2)
Определение 3.1.9
Формулы (1) или (2) называются формулами Тейлора для функции f (x) в точке x0 , а выражение Rn (x) – остаточным членом формулы Тейлора.
Теорема 3.1.3
lim Rn (x)= 0 .
x→x0
Доказательство
очевидно, так как f (x0 )=Tn (x0 ), а функция f (x) так же, как и ее многочлен Тейлора,
непрерывны. Тогда |
|
lim Rn (x)= lim (f (x)−Tn (x))= f (x0 )−Tn (x0 )= 0 . |
|
x→x0 |
x→x0 |
ЗАМЕЧАНИЕ |
|
Можно доказать, что остаточный член Rn (x) при x → x0 является бесконечно малой более |
|
высокого |
порядка, чем (x − x0 )n . Это записывается в следующем виде: |
Rn (x)= ϑ((x − x0 )n ). Подобная форма записи остаточного члена формулы Тейлора называется остаточным членом в форме Пеано.
Используя форму Пеано для остаточного члена, можно записать формулу Тейлора в следующем виде.
f (x)= f (x0 )+ |
f '(x0 ) |
|
(x − x0 )+ |
f ''(x0 ) |
(x − x0 )2 +... ... + |
f '(n) (x0 ) |
(x − x0 )n + θ((x − x0 )n ). |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
2! |
|
|
||||||||
1! |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
||||
Определение 3.1.10 |
f (x) n раз дифференцируема в некоторой окрестности Uδ(0) точки |
|||||||||||
Пусть функция |
||||||||||||
x = 0 . Формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x)= f (0)+ |
f '(0) |
x + |
f ''(0) |
x2 +... + |
f (n)(0) |
xn + θ(xn ), |
|||||
|
1! |
2! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
называется формулой Маклорена.
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Из определения ясно, что формула Маклорена получится из формулы Тейлора, если положить x0 = 0 .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно |
|
|
доказать, |
что |
остаточный член |
формулы |
Тейлора имеет |
вид: |
|||
|
|
f |
(n+1)(θ) |
|
n+1 |
|
|
|
|
||
R (x) |
= |
|
|
|
(x − x ) |
, где x < θ < x . |
Такая форма |
записи остаточного |
члена |
||
(n +1)! |
|||||||||||
n |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Маклорена для основных элементарных функций
1.f (x)= ex .
|
′ |
(n) |
|
x |
|
x x2 x3 |
|
xn |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку f (0)= |
|
(0)=1 , то e |
|
=1 + 1! + 2! + 3! +... + n! + θ(x ). |
|||||||||
f (0)=... = f |
|
|
|||||||||||
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.f (x)= sin x . f (0)= 0 .
Так как (sin x)(n) = sin(x + π2n ), то все производные четного порядка в точке x0 равны нулю, а производные нечетного порядка равны ±1 , причем знаки чередуются. Поскольку
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(sin x) = cos x , то |
, то есть перед первым членом в формуле знак +. |
|||||||||||||||
f (0)= cos0 =1 > 0 |
||||||||||||||||
Учитывая все это формулу Маклорена для заданной функции можно записать в виде: |
||||||||||||||||
|
|
x x3 |
x5 |
n+1 |
|
x2n−1 |
2n−1 |
|
||||||||
|
sin x = |
|
− |
|
+ |
|
−... + (−1) |
|
|
+ θ(x |
|
); |
||||
3. f (x)= cos x |
1! |
3! |
5! |
(2n −1)! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
), то |
|
|
|
|
|
|
||
f (0)=1. Поскольку (cos x)(n) = cos(x + |
πn |
f (2n+1)(0)= 0 , f (2n)(0)= ±1 для любых |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
значений n . При этом вторая производная f ′′(0)= −cos0 = −1 . Значит, все производные
порядка 2n равны –1, а все производные порядка 4n равны 1. Формула Маклорена для функции f (x)= cos x имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
x6 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x =1 − |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+... + (−1) |
|
|
|
|
|
|
+ θ(x |
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
6! |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. f (x)= ln(1 + x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 (n −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
n−1 |
|
|
||||||||||||
f (0)= ln1 = 0 . Поскольку |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
(x)= (−1) |
|
|
|
, то |
f |
|
|
|
|
(0) |
= (−1) |
|
(n |
−1)!. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)n+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда формулу Маклорена для функции |
|
f (x)= ln(1 + x) можно записать в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln(x +1)= x − |
|
1! x2 |
+ |
2! x3 |
− |
3! |
|
|
x4 |
+ |
... + (−1)n−1 |
(n −1)! |
xn |
|
|
+ θ(xn ), или |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
n−1 xn |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln(x +1)= x − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
−... +(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
+θ(x |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3.1.20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Представьте функцию |
|
f (x)= e−x2 |
|
формулой Маклорена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула |
|
Маклорена |
|
|
|
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
f (x)= ex |
|
|
|
|
|
|
имеет |
|
|
вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ex =1 + |
x |
|
+ |
x2 |
+ |
x3 |
+... + |
xn |
+ ϑ(xn ). Чтобы получить формулу Маклорена для заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
3! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функции, нужно x заменить на − x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e−x |
|
=1 − |
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+... + (− |
1)n |
|
|
|
|
+ ϑ(x2n ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3.1.21 |
|
|
|
|
|
f (x)= ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Представьте функцию |
|
|
формулой Тейлора в точке x0 =1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + y) |
||||
Сделаем замену y = x −1, |
|
|
тогда |
|
|
|
x =1+ y |
|
и |
ln x = ln(1 + y). |
|
|
Функцию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представим формулой Маклорена. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
y4 |
|
|
|
|
n−1 yn |
+θ(x |
n |
). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln(y +1)= y − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+... +(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|