Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

раздел 3 конспекта лекций.pdf

Скачиваний:

122

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

972 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

(sin x)tg3x = eln((sin x)tg 3 x )= etg3x ln(sin x).

Затем вычислим предел показателя

lim	(tg 3x ln(sin x))= [0 ∞]= lim	ln(sin x)	=	∞ .

x→0	x→0 ctg 3x
				∞

Применяя правило Лопиталя, получим

	ln(sin x)		∞
lim		=		= lim
	ctg 3x
x→0			∞	x→0

1		cos x	= −1	lim sin2 3x cos x .
sin x

	3		3 x→0		sin x
− sin 2 3x

cos x →1, а бесконечно малые при x → 0 функции sin 2 3x и sin x можно заменить под

x→0

знаком предела эквивалентными бесконечно малыми функциями (3x)2 и x . Учитывая это, получим

lim	ln(sin x)	= −1 lim	(3x)2 1	= −1 lim
	ctg 3x		x
x→0		3 x→0		3 x→0
Тогда lim (sin x)tg 3x = lim etg 3x ln sin x = e0 =1.
x→0	x→0

9x	2	= −1 lim(9x)= 0 .
x		3 x→0

3.1.13. Формула Тейлора и ее применение

Многочлен Тейлора

Многочленом n – й степени относительно переменной x называется многочлен вида

		P	(x)= a	+ a x + a x2 +... + a xn .
		n	0		1	2	n
Многочлен вида	T	(x)= a + a (x − x			)+ a	(x − x )2 +... + a		(x − x )n	также является
	n	0	1	0	2	0	n	0
многочленом n – й степени относительно переменной							x . Если раскрыть все скобки и

привести подобные члены, то его можно привести к виду, в котором записан многочлен

Pn (x). Многочлен Tn (x)

в отличие от многочлена Pn (x) называют многочленом n – й

степени относительно переменной x , записанным по степеням x − x0 .

Определение 3.1.9

f (x)

Пусть функция

n раз дифференцируема в точке x0 . Многочлен n – й степени

относительно переменной

x , записанный по степеням x − x0 ,

называется многочленом

Тейлора для функции

f (x)

в точке x0 , если: в этой точке равны значения функции

f (x)

и многочлена Tn (x),

а также значения всех их производных до производных n

– го

порядка.

Из определения следует, что многочлен вида

T (x)= a + a

(x − x )+ a (x − x )2

+... + a (x − x )n

является

многочленом

Тейлора

для функции

f (x)

в точке

x0 , если выполняются

равенства:

Tn (x0 )= f (x0 );

Tn′(x0 )= f ′(x0 ); ...; Tn(n)(x0 )= f (n)(x0 ) .

На

основании

определения

можно

получить

формулы для коэффициентов

a0 , a1,..., an многочлена Тейлора.

Теорема 3.1.2

Если многочлен

T (x)= a

+ a

(x − x

)+ a

(x − x

)2 +... + a

(x − x

является многочленом

Тейлора

функции

f (x)

точке

x0 ,

то его коэффициенты

a0 , a1,..., an определяются по формулам:

= f (x

);

f '(x

); a

f ''(x0 )

;......;

f (n)(x0 )

Доказательство

и Tn (x0 )= f (x0 ), то a0 = f (x0 ).

Так как Tn (x0 )= a0

Вычислим производную от многочлена Тейлора

Tn ' (x)= a1 + a2 2 (x − x0 )+ a3 3 (x − x0 )2 +...

и подставим в это равенство x = x0 . Получим Tn′(x0 )= a1 .

Поскольку из определения многочлена Тейлора следует, что должно быть выполнено условие Tn′(x0 )= f ′(x0 ), то

a1 = f '(x0 ).

Вычислим вторую производную от многочлена Тейлора

T ''(x)= 2 a

+ a

3 2 (x − x

)+ a

4 3 (x − x )2

+...

Подставив в это равенство x = x0 , получим, что Tn′′(x0 )= 2 a2 . Так как для многочлена

Тейлора справедливо Tn′′(x0 )=

f ′′(x0 ), то 2a2 = f ′′(x0 ), откуда следует, что

a =

f ''(x0 )

Вычислим третью производную от многочлена Тейлора

′′′

3 2 + a4 4 3 2 (x − x0 )+...

(x)= a3

и подставим в нее x = x0 . Получим

′′′

Так как должно быть выполнено

Tn (x0 )= 3 2 a3 .

′′′

условие Tn (x0 )=

f (x0 ), то 3 2 a3 = f

(x0 ), откуда следует, что

f ′′′(x0 )

3 2

Последовательно дифференцируя n раз многочлен Тейлора и подставляя в вычисленную производную x = x0 , получим формулу для коэффициента an при любом значении n :

an = f '(nn)!(x0 ) .

Формулы Тейлора и Маклорена

Пусть функция f (x) n раз дифференцируема в некоторой окрестности Uδ(x0 ) точки x0 и пусть Tn (x) – ее многочлен Тейлора в точке x0 . Если обозначить Rn (x)= f (x)−Tn (x), то функцию f (x) в окрестности Uδ(x0 ) точки x0 можно представить формулой:

f (x)=Tn (x)+ Rn (x)

(3.1.1)

или

f (x)= f (x0 )+ f '1(!x0 ) (x − x0 )+ f ''2(!x0 ) (x − x0 )2 + ... + f (nn)(!x0 )(x − x0 )n + Rn (x). (3.1.2)

Определение 3.1.9

Формулы (1) или (2) называются формулами Тейлора для функции f (x) в точке x0 , а выражение Rn (x) – остаточным членом формулы Тейлора.

Теорема 3.1.3

lim Rn (x)= 0 .

x→x0

Доказательство

очевидно, так как f (x0 )=Tn (x0 ), а функция f (x) так же, как и ее многочлен Тейлора,

непрерывны. Тогда
lim Rn (x)= lim (f (x)−Tn (x))= f (x0 )−Tn (x0 )= 0 .
x→x0	x→x0
ЗАМЕЧАНИЕ
Можно доказать, что остаточный член Rn (x) при x → x0 является бесконечно малой более
высокого	порядка, чем (x − x0 )n . Это записывается в следующем виде:

Rn (x)= ϑ((x − x0 )n ). Подобная форма записи остаточного члена формулы Тейлора называется остаточным членом в форме Пеано.

Используя форму Пеано для остаточного члена, можно записать формулу Тейлора в следующем виде.

f (x)= f (x0 )+

f '(x0 )

(x − x0 )+

f ''(x0 )

(x − x0 )2 +... ... +

f '(n) (x0 )

(x − x0 )n + θ((x − x0 )n ).

Определение 3.1.10

f (x) n раз дифференцируема в некоторой окрестности Uδ(0) точки

Пусть функция

x = 0 . Формула

f (x)= f (0)+

f '(0)

x +

f ''(0)

x2 +... +

f (n)(0)

xn + θ(xn ),

называется формулой Маклорена.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Из определения ясно, что формула Маклорена получится из формулы Тейлора, если положить x0 = 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ 2
Можно			доказать,		что	остаточный член	формулы	Тейлора имеет	вид:
		f	(n+1)(θ)		n+1
R (x)	=			(x − x )		, где x < θ < x .	Такая форма	записи остаточного	члена
R (x)	=	(n +1)!		(x − x )		, где x < θ < x .	Такая форма	записи остаточного	члена
n		(n +1)!			0	0
n					0	0

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Маклорена для основных элементарных функций

1.f (x)= ex .

′

(n)

x x2 x3

Поскольку f (0)=

(0)=1 , то e

=1 + 1! + 2! + 3! +... + n! + θ(x ).

f (0)=... = f

2.f (x)= sin x . f (0)= 0 .

Так как (sin x)(n) = sin(x + π2n ), то все производные четного порядка в точке x0 равны нулю, а производные нечетного порядка равны ±1 , причем знаки чередуются. Поскольку

′

(sin x) = cos x , то

, то есть перед первым членом в формуле знак +.

f (0)= cos0 =1 > 0

Учитывая все это формулу Маклорена для заданной функции можно записать в виде:

x x3

n+1

x2n−1

2n−1

sin x =

−

−... + (−1)

+ θ(x

);

3. f (x)= cos x

(2n −1)!

), то

f (0)=1. Поскольку (cos x)(n) = cos(x +

πn

f (2n+1)(0)= 0 , f (2n)(0)= ±1 для любых

значений n . При этом вторая производная f ′′(0)= −cos0 = −1 . Значит, все производные

порядка 2n равны –1, а все производные порядка 4n равны 1. Формула Маклорена для функции f (x)= cos x имеет вид:

x2n

cos x =1 −

−

+... + (−1)

+ θ(x

(2n)!

4. f (x)= ln(1 + x).

n−1 (n −1)!

(n)

n−1

f (0)= ln1 = 0 . Поскольку

(x)= (−1)

, то

(0)

= (−1)

−1)!.

(x +1)n+1

Тогда формулу Маклорена для функции

f (x)= ln(1 + x) можно записать в виде

ln(x +1)= x −

1! x2

2! x3

−

... + (−1)n−1

(n −1)!

+ θ(xn ), или

4 !

n−1 xn

ln(x +1)= x −

−

−... +(−1)

+θ(x

Задача 3.1.20

Представьте функцию

f (x)= e−x2

формулой Маклорена.

Решение

Формула

Маклорена

для

функции

f (x)= ex

имеет

вид

ex =1 +

+... +

+ ϑ(xn ). Чтобы получить формулу Маклорена для заданной

функции, нужно x заменить на − x2 .

x2n

e−x

=1 −

−

+... + (−

1)n

+ ϑ(x2n ).

Задача 3.1.21

f (x)= ln x

Представьте функцию

формулой Тейлора в точке x0 =1.

Решение

ln(1 + y)

Сделаем замену y = x −1,

тогда

x =1+ y

ln x = ln(1 + y).

Функцию

представим формулой Маклорена. Тогда

n−1 yn

+θ(x

ln(y +1)= y −

−

+... +(−1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202541 Кб6Работа в группах.docx
#
14.08.2019733 Кб85Рабочая программа по численным методам123.doc
#
01.07.2025834 Кб8рабочая тетрадь по физиологии.doc
#
18.04.201541 Кб566Развитие Эвм.docx
#
01.07.202526 Кб18раздел 2, концепции современного естествознания...docx
#
18.04.2015972 Кб122раздел 3 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015752 Кб89раздел 4 конспекта лекций.pdf
#
01.07.20251 Мб24Раздел 4.doc
#
18.04.2015917 Кб64раздел 5 конспекта лекций.pdf
#
01.04.2025403 Кб5раздел1..doc
#
01.04.2025437 Кб7Раздел2.doc