Упростим полученное для производной выражение

y

′

3sin(3x −2)

= − 2 cos(3x −2) .

1

′

1

запомнить

= −

.

x2

x

Вычислить производную функции y =

x

ctg x

.

arcsin 2x

x ctg x

ln

y = e arcsin 2x

.

= ectg x (ln x−ln arcsin x)

1

1

1

1

−

(ln x −ln arcsin x)+ ctg x

−

.

sin 2 x

arcsin x

x

1 − x

2

абсциссой

x0 . Следовательно, если записать уравнение касательной в виде

y = kx +b ,

то k = f ′(x0 ). Тогда уравнение примет вид

y = f ′(x0 ) x +b .

(x0 , f (x0 )).

Параметр

b определим,

учитывая, что касательная проходит через точку

Подставив в уравнение касательной x = x0 , y = f (x0 ), получим

f (x0 )= f ′(x0 ) x0 +b .

Из этого соотношения

следует, что b = f (x0 )− f ′(x0 ) x0

и уравнение

касательной

примет вид:

y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ).

Задача 3.1.4

Напишите уравнение касательной к графику функции

y = ex в точке с абсциссой

x0 = 0 .

Решение

Уравнение касательной запишем в виде:

f ′(x)= (ex )′ = ex ,

y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ).

Поскольку

f ′(x0 )= e0 =1,

f (x0 )= e0 =1 ,

то касательная

к графику

заданной функции в точке x0 = 0 задается уравнением y = x +1.

Задача 3.1.5

Найдите угол между кривыми y =

1

и y = x

в точке их пересечения.

x

Решение

Углом между кривыми, пересекающимися в точке с абсциссой x0 ,

называется угол

между их касательными,

проведенными в этой точке. Поскольку уравнение

1

=

x

x

имеет один корень x0 =1 , то кривые пересекаются в точке с абсциссой x0 =1.

Напомним,

что

угол

между прямыми,

заданными уравнениями

y = k1x + b1

и

y = k2 x + b2 , определяется по формуле

tg ϕ =

k2 −k1

.

1

+ k

k

2

1

1

′

1

Так как

= −

, то угловой коэффициент k1 касательной к графику функции

x

2

x

y =

1

в точке абсциссой

x

0

=1 равен: k = −1 .

x

1