Заменяя в последней формуле y = x −1 , получим формулу Тейлора для функции f (x)= ln x в точке x0 =1
ln x = (x −1)− (x −21)2 + (x −31)3 − (x −41)4 +... +(−1)n−1 (x −n1)n +θ(xn ).
Применение формул Тейлора и Маклорена
Задача 3.1.22
Вычислить предел, используя формулу Маклорена
lim |
e−x2 |
−sin(x2 )−cos 2x |
. |
|
x3 sin x |
||
x→0 |
|
|
Решение
Представим следующие функции формулой Маклорена
|
−x 2 |
|
|
x2 |
x4 |
|
x6 |
6 |
|
||||||||||
e |
|
=1 |
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ θ(x |
|
), |
||
|
1! |
|
2! |
3! |
|
||||||||||||||
|
sin x = x − |
x3 |
|
+ |
x5 |
+ θ(x5 ), |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3! |
5! |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
sin x2 = x2 − |
x6 |
|
+ θ(x6 ), |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos 2x =1 − |
4x2 +16x4 |
− 64x6 + θ(x6 ), |
|||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|||||||
под знаком предела, ограничиваясь при этом членами со степенями не выше, чем x4 . Тогда это выражение можно преобразовать так, чтобы предел легко вычислялся.
|
e−x2 |
−sin(x2 )−cos 2x |
= lim |
1 − x2 + |
x4 |
|
− x2 −1 + 2x |
2 − |
2 |
x4 |
+ θ(x4 ) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
2 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
(x − |
|
x |
3 |
|
+ θ(x |
4 |
)) |
|
|
|
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= lim |
x4 |
− |
2 x 4 |
+ θ(x4 ) |
= lim |
− |
x 4 |
+ θ(x4 ) |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x4 + θ(x4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
x→0 |
|
x4 + θ(x4 ) |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Задача 3.1.23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить предел, используя формулу Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
cos (sin x)−1 + 0,5x2 + 2x |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin x |
= x − |
x3 |
+ θ(x3 )= x − |
x3 |
+ θ(x3 ), |
cos x =1− |
x2 |
+ |
x4 |
+θ(x4 ). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
2! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
||||
Подставляя выражение для функции sin x в формулу Маклорена для cos x , получим
cos(sin x)=1 − (x − x63 )2 + (x − x63 )4 + θ(x4 ), или 2! 4!
35