Функцию

cos y

можно

выразить

через

функцию

sin y

из

основного

тригонометрического тождества sin 2 y + cos2 y =1 .

cos y = ± 1 −sin2 y .

Поскольку

y [−

π

;

π

],

что

соответствует

первой

и четвертой

четвертям

2

2

тригонометрического

круга, то

cos y ≥ 0 .

Следовательно,

cos y =

1 −sin 2 y ,

где

sin y = x . Тогда для производной для функции y = arcsin x справедливо равенство:

(arcsin x)′ =

1

=

1

.

1 −sin 2 y

1 − x2

Для вычисления производной от функции

y = arccos x

используем

соотношение

arcsin x + arccos x =

π

и

выразим

из

него

arccos x =

π

− arcsin x .

Долее можно

2

2

использовать правило дифференцирования разности двух функций.

(arccos x)′ = (

π

−arcsin x)′

=

(

π

)′

−(arcsin x)′ = −

1

.

2

2

1 − x2

Функция y = arctg x задана на промежутке x (− ∞; ∞) и ее значения принадлежат

промежутку

y (−

π

,

π

). На промежутке

y (−

π

,

π

) определена обратная функция

2

2

x = tg y .

2

2

Для

вычисления

ее

производной

можно

использовать

правило

дифференцирования обратной функции.

′

1

1

1

2

y′x

= (arctg x)x

=

=

=

= cos

y .

x′y

(tg y)′y

1cos2 y

Из основного

тригонометрического

тождества

1 + tg 2 y =

1

следует,

что

2

y

cos

cos2 y =

1

. Следовательно,

(arctg x)x′ = cos2 y =

1

=

1

.

1 + tg 2

y

1 + tg2 y 1 + x2

Для вычисления производной от функции

y = arcctg x

используем

соотношение

arctg x + arcctg x =

π

и выразим из него arcctg x =

π

− arctg x . Долее можно использовать

2

2

правило дифференцирования разности двух функций.

(arcctg x)′ = (

π

−arctg x)′

= (

π

)′

− (arctg x)′ = 0 −

1

= −

1

.

1 + x2

1 + x2

2

2

Производные гиперболических функций

Гиперболическими называются следующие функции:

sh x =

ex −e−x

ch x =

ex +e−x

– гиперболический синус;

– гиперболический

2

2

косинус;

th x =

sh x

– гиперболический тангенс; cth x =

ch x

– гиперболический котангенс.

ch x

sh x

Для гиперболических функций справедливы соотношения:

ch 2 x −sh 2 x =1; ch 2 x +sh 2 x = ch 2x; 2sh x ch x = sh 2x ;

th x cth x =1;

1 + th 2 x =

1

;

1 + cth 2 x =

1

.

ch 2

x

sh 2 x

14

′

′

′

1

′

1

(sh x)

= ch x;

(ch x) = sh x;

(th x)

=

;

(cth x)

= −

.

ch 2 x

sh 2 x

Доказательство

′

ex

−e−x

′

ex +e−x

′

ex + e−x

′

ex −e−x

(sh x)

=

= ch x ; (ch x)

=

= sh x .

2

=

2

=

2

2

′

sh x ′

sh′x ch x −ch′x sh x

ch2 x −sh2

x

1

(th x)

=

=

=

=

, так как

ch x

ch2 x

ch2 x

ch2

x

1 ′

ch 2 x −sh 2 x =1.

′

1

1

ch 2 x

1

1

(cth x)

=

= −

= −

= −

.

th 2

ch 2

sh 2 x

ch

2 x

sh 2

x

th x

x

x

Полученные результаты запишем в таблицу 3.1.1.

Таблица 3.1.1. Производные основных элементарных функций.

(xα )′ = α xα−1

(arcsin x)′ =

1

1

− x2

(e x )′ = ex

(arccos x)′ = −

1

1 − x2

(a x )′ = a x ln a

(arctg x)′ =

1

+ x2

1

′

1

′

1

(ln x)

=

(arcctg x)

= −

x

1+ x2

(loga x)′ =

1

(sh x)′

= ch x

x ln a

(sin x)′ = cos x

(ch x)′

= sh x

(cos x)′ = −sin x

′

1