3.2.3 Емкостный элемент.

Примером емкостного элемента является плоский конденсатор – две параллельные пластины, находящиеся на небольшом расстоянии друг от друга (рисунок 3.6, а).

Пусть к емкостному элементу приложено напряжение (рису- нок 3.6, б)

tsinUumcω=.

(3.34)

На пластинах емкостного элемента появится заряд , пропорцио-нальный приложенному напряжению: q

cuCq⋅=.

(3.35)

Тогда ток в емкостном элементе ()090+=⋅⋅===tsinItcosUCdtduCdtdqimmccωωω.

(3.36)

Таким образом, получим важные соотношения: dtduCicс⋅=.

(3.37)

()cmmmXUCUI==ω1,

(3.38)

где CXc⋅=ω1 – емкостное сопротивление, измеряется в Омах и зависит от частоты.

111

Сопоставляя выражения (3.36) и (3.34), приходим к выводу: ток в емкостном элементе опережает по фазе напряжение, приложенное к не-му, на 90. 0

Это положение иллюстрируется на рисунке 3.6, в, г.

Анализ выражений (3.36) и (3.38) позволяет сделать и другие выво-ды:

- емкостный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого обратно пропорционален частоте. cX

- закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряже-ния:

mcmIXU⋅=,

(3.39)

так и для действующих значений: СССmСmmСmIXUIXUIXU⋅=⇒⋅=⇒⋅=22.

(3.40)

Выразим мгновенную мощность р через i и : utsinIUtsinIUtcosItsinUiupmmmmωωωω222⋅=⋅=⋅=⋅=.

(3.41)

График изменения мощности р со временем построен на рисунке 3.6, д. Анализ графика и (3.41) позволяют сделать выводы:

- мгновенная мощность на емкостном элементе имеет только перемен-ную составляющую tsinIUtsinIUmmωω222⋅⋅=⋅, изменяющуюся с двойной частотой (ω2).

- мощность периодически меняется по знаку – то положительна, то отри-цательна. Это значит, что в течение одних четвертьпериодов, когда 0>p, энергия запасается в емкостном элементе (в виде энергии элек-трического поля), а в течение других четвертьпериодов, когда 0 <p, энергия возвращается в электрическую цепь.

Запасаемая в емкостном элементе энергия за время dt равна

pdtdW=.

(3.42)

Максимальная энергия, запасенная в емкостном элементе, опреде-лится по формуле: ∫∫⋅⋅=⋅==404012TTmIUtsinIUpdtWωω.

(3.43)

Учитывая, что UCI⋅⋅=ω, получим:

112

222mmUCCUW⋅=⋅=.

(3.44)uiрmmmmsin(sin(sinm=====+++-0000=90=909090р22 sin tUI sin ttttttTTtUI2222UUC))IqdqCIUCCCCLLiuiuа)г)д)0б)в)

а) схема конструкции плоского конденсатора;

б) изображение емкостного элемента на схеме;

в) векторы тока и напряжения на емкостном элементе;

г) графики мгновенных значений тока и напряжения;

д) график мгновенной мощности.

Рисунок 3.6 – Емкостный элемент

3.3 Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока

Для расчета режима неразветвленной электрической цепи применим комплексный метод. Представим все синусоидальные величины их ком-плексами:

eeЕЕψ⋅=&; ieIIψ⋅=&; U; uReURRψ⋅=&

uLeUULLψ⋅=&; U. uCeUCCψ⋅=&

Порядок расчета такой же, как на постоянном токе. Во-первых, стрелками изображаем положительные направления тока, ЭДС и напряже-ний. Во-вторых, выбираем направление обхода контура по направлению 113

движения часовой стрелки и записываем уравнение по второму закону Кирхгофа: EICjIRILjUUUCRL&&&&&&&=−+=++ωω1.

(3.45)

Выражения IR&, , IjXILjL&&=ωIjXICjC&&−=−ω1 отражают особенно-сти проявления закона Ома для резистивного, индуктивного и емкостного элементов электрической цепи:

IRUR&&=; U; U. IjXLL&&=IjXCC&&−=

Здесь умножение на означает, что напряжение опережает по фазе ток j+LU&I& на , умножение на 090j− означает, что напряжение U от-стает ____________по фазе от тока C&I& на 90. 0

Из (3.45) находим комплексный ток в цепи: −+=CLjREIωω1&&.

(3.46)

или (так как UE&&=) −+=CLjRUIωω1&&.

(3.47)

где eujjeEEeUUϕϕ⋅==⋅=&& – напряжение между выводами неразветвленной цепи (рисуноав

к 3.7, а).

Величина, стоящая в знаменателе, ()CLXXjRCLjRZ−+=



−+=ωω1,

(3.48)

называется комплексным сопротивлением (неразветвленной цепи).

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется ком-плексной проводимостью: ZY1=.

На рисунке 3.7,б построена векторная диаграмма тока и напряжений неразветвленной цепи для случая: . CLXX>

114

а)б)в)E=UEZCCCC+1+1=-++jjIIaвUUUUjX-jXUURRRReeiLLLL

а) схема электрической цепи;

б) векторная диаграмма тока и напряжений;

в) изображение комплексных сопротивлений на комплексной плоскости.

Рисунок 3.7 – Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока

Обычно векторная диаграмма строится в конце расчета по получен-ным значениям тока и напряжений. При этом проверяется правильность расчета.

Поделив все составляющие векторной диаграммы на I&, получаем значения комплексных сопротивлений и изображаем комплексные сопро-тивления R, , , LjXCjX−Z на комплексной плоскости (рисунок 3.7, в) получаем диаграмму, подобную диаграмме тока и напряжений.

Обратим внимание на “треугольник сопротивлений” (заштрихован-ная площадь), стороны которого соответствуют сопротивлениям R, и CLXXX−=Z. Треугольник сопротивлений подобен треугольнику на-пряжений (рисунок 3.7, б).

115

Анализ диаграммы сопротивлений позволяет перейти от алгебраиче-ской формы записи комплексного сопротивления к тригонометрической и показательной формам: ϕϕsinjzcoszZ⋅+⋅=;

(3.49)

ϕjezZ⋅=,

(3.50)

где ( )22CLXXRZz−+== – модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление; RXXarctgCL−=ϕ – аргумент комплексного сопротивления.

В зависимости от знака величины ()CLXX− аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным (индуктивный характер), либо отрицательным (емкостный характер).

Подставив (3.50) в (3.46) или в (3.47), получим закон Ома для нераз-ветвленной цепи: ()ϕψ−⋅



==ejezEZEI&&,

(3.51)

или ()ϕψψ−⋅



==⋅=uijjezUZUeII&&,

(3.52)

то есть zUI=; ϕψψ−=ui.

(3.53)

При нескольких последовательно соединенных элементах комплекс-ное сопротивление ()jXRXXjRZCL+=−+=ΣΣΣ,

(3.54)

где – активное сопротивление цепи; Σ=RR

ΣΣ−=CLXXX – реактивное сопротивление цепи.

В активном сопротивлении происходит необратимое преобразова-ние электрической энергии в другие виды энергии, а в реактивном сопро-тивлении – не происходит.

Полное сопротивление и аргумент комплексного сопротивления можно рассчитывать по формулам: 22XRZ+=;

(3.55)

=RXarctgϕ.

(3.56)

116