3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений.

Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I0 в течение промежутка времени t равна:

tRIQ⋅⋅=20.

(3.7)

Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ, выделившейся в резисторе с сопротив-лением R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся:

RdtidQ2=,

(3.8)

За период времени Т выделившаяся энергия:

103

∫=TRdtiQ02,

(3.9)

Пусть itsinImω=, тогда: ∫∫===TTmmmRTItdtsinRItRdtsinIQ00222222ωω

Введем величину 2mII=, называемую действующим значением си-нусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

RTIQ2=,

(3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Дей-ствующее значение синусоидального тока равно такому значению посто-янного тока, который за один период выделяет в том же резисторе та-кое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

Аналогично ществуют понятия действующих значенисинусои-дальных напряжений и ЭДС:

су й

2mUU= и 2mEE=.

(3.11)

Из формул (3.9) и (3.10) получаем: ∫=TdtiTI021.

(3.12)

В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинст-во электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

В действующих значениях указываются номинальные токи и напря-жения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода: ∫==20221TmmсрItdtsinITIπω,

(3.13)

104

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет π2=0,638 от амплитудного значения. Аналогично, π/ЕEmср2=, π/mUср2U=.

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и эдс комплексными числами и векторами.

Синусоидально изменяющийся ток изображается комплексным числом: i

()()itjmimeItsinIiψωψω+⇔+=.

(3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени t=0:

ijmmimeIIsinIiψψ⇔==&.

(3.15)

Величину называют комплексной амплитудой тока или ком-плексом амплитуды тока. mI&

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока I& понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на 2: iijjmmeIeIIIψψ⋅=⋅==22&&,

(3.16)

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выраже-ния ujmeUUUψ⋅==2&&, ejmeEEEψ⋅==2&&.

IRe IJm IIIIecossin+1+jiiiij===

Рисунок 3.3 – Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I&

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на ком-плексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен век-тор . При этом угол I&iψ отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки,

105

если iψ>0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I& (так же, как ком-плекс напряжения и ЭДС) можно представить 3e⋅25

а) вектором I&;

б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригоно-метрической формах:

ψψψsinjIcosIIjJmIReeIIij+=+=⋅=&&&,

(3.17)

Пример 3.1 Ток ()0 А. Записать выражение для комплексной амплитуды этого то302+=tsiniω

ка.

Решение. В данном случае =2 А, mIψ=300. Следовательно,

()1302302200300⋅+=⋅+=⋅=jsinjcoseIjm& А.

Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока А. Записать выражение для мгновенного значения этого тока. 03025jmI−=&

Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить на mI&tjeω и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения:

()()0303030252500−=





⋅=





⋅⋅=−−tsineJmeeJmitjtjjωωω.

Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1.

Решение: 0030302222jjmeeII⋅=⋅==&& А.