3.2 Элементы электрических цепей синусоидального тока

Основные элементы электрических цепей синусоидального тока:

- источники электрической энергии (источники ЭДС и источники тока);

- резистивные элементы (резисторы, реостаты, нагревательные элементы и т.д.);

- емкостные элементы (конденсаторы);

- индуктивные элементы (катушки индуктивности).

3.2.1 Резистивный элемент (рэ).

На рисунке 3.4, а изображен РЭ, по которому течет ток

tsinIimω=.

(3.18)

По закону Ома напряжение РЭ 106

tsinUtsinIRRiummωω=⋅=⋅=,

(3.19)

где U. mmIR⋅=

Из формул (3.18) и (3.19) следует вывод: ток и напряжение в рези-стивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно). Это поло-жение наглядно иллюстрируется на рисунке 3.4,б, в. Из формул (3.19) сле-дует другой вывод: закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения:

mmIRU⋅=,

(3.20)

так и для действующих значений тока и напряжения:

IRU⋅=.

(3.21)

Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока и напряжения : iu()(ωωωω21212cosIUtcosIUtsintsinIUiupmmmm−⋅⋅=− ) ⋅=⋅=⋅=

(3.22)

а) изображение на схеме; RR322=+++2=iiuiuрmmmm===iр21-U sin tI sin tUI( sin t)ttTUUIITTUIuа)в)г)б)

б) векторы тока и напряжения;

в) графики тока и напряжения;

г) график мгновенной мощности.

Рисунок 3.4 – Резистивный элемент 107

График изменения мощности p во времени представлен на рисун- ке 3.4, г. Анализ графика и формулы (3.22) позволяют сделать выводы:

- мгновенная мощность p имеет постоянную составляющую IUIUmm⋅=⋅2 и переменную составляющую tcosIUmmω22⋅, изме-няющуюся с частотой ω2;

- мощность в любой момент времени положительна ()0>р. Это значит, что в резистивном элементе происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии («потребление_______» энергии);

- постоянная составляющая в формуле (3.22) есть среднее значение мгно-венной мощности за промежуток времени равный периоду Т. Следова-тельно, энергия , преобразуемая в резистивном элементе в течение периода, подсчитывается по формуле: WTIUTIUWmm⋅⋅=⋅⋅=2.

(3.23)

Энергия, преобразуемая в резистивном элементе за любой промежу-ток времени от 0 до t определяется по формуле

()∫∫−⋅==ttdttcosIUpdtW0021ω.

(3.24)

3.2.2 Индуктивный элемент.

Классическим примером индуктивного элемента (ИЭ) является ка-тушка индуктивности – провод, намотанный на изоляционный каркас (ри-сунок 3.5,а)

На рисунке 3.5,б изображен индуктивный элемент, по которому те-чет ток

tsinIimLω=.

(3.25)

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение на индук-тивном элементе dtdiLdt)iL(ddtdФuLL⋅=⋅==, т.е. dtdiLLL⋅=u

(3.26)

где Ф – магнитный поток, сконцентрированный внутри индуктивного эле-мента (катушки индуктивности);

L – индуктивность элемента (коэффициент пропорциональности меж-ду магнитным потоком и током в индуктивном элементе), для ли-нейного индуктивного элемента индуктивность constL=.

Подставляя в (3.26) выражение (3.25), получим:

108

()090+=⋅⋅=tsinUtcosILummLωωω,

(3.27)

где UmLmmIXIL⋅=⋅⋅=ω.

Величина LXL⋅=ω называется индуктивным сопротивлением, из-меряется в омах и зависит от частоты ω.

Сопоставляя выражения (3.25) и (3.27) сделаем важный вывод: ток в индуктивном элементе отстает по фазе от напряжения на 2

π ()090.

Это положение иллюстрируется на рисунке 3.5,в, г. Из формулы (3.27) следует также:

- индуктивный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого LXL⋅=ω, прямо пропорционален частоте.

- «Закон Ома» выполняется как для амплитудных значений тока и на-пряжения:

mLmIXU⋅=,

(3.28)

так и для действующих значений: IXUIXUIXULmLmmLm⋅=⇒⋅=⇒⋅=22.

(3.29)

109

uiрmmsin(sin(sinm=====++=00=90=90р2UI sin ttttttdidt22222UI))LIФLUILLLLLLLLiuuiа)г)д)0б)в)

а) схема конструкции катушки индуктивности;

б) изображение ИЭ на схеме;

в) векторы тока и напряжения;

г) графики тока и напряжения;

д) график мгновенной мощности.

Рисунок 3.5 – Индуктивный элемент

Выразим мгновенную мощность p через _______i и : utsinIUtsinIUtsinItcosUiupmmmmωωωω222⋅=⋅=⋅=⋅=.

(3.30)

График изменения мощности p со временем построен на основании формул (3.30) на рисунке 3.5, д. Анализ графика и (3.30) позволяют сде-лать выводы:

- мгновенная мощность на индуктивном элементе имеет только перемен-ную составляющую tsinIUtsinIUmmωω222⋅=



⋅, изменяющуюся с двойной частотой (ω2).

- мощность периодически меняется по знаку: то положительна, то отри-цательна. Это значит, что в течение одних четвертьпериодов, когда 0>p, энергия запасается в индуктивном элементе (в виде энергии 110

магнитного поля), а в течение других четвертьпериодов, когда 0 <p, энергия возвращается в электрическую цепь.

Запасаемая в индуктивном элементе энергия за время dt равна:

pdtdW=.

(3.31)

Максимальная энергия, запасенная в индуктивном элементе, опреде-лится по формуле: ∫∫⋅⋅=⋅==404012TTmIUtsinIUpdtWωω.

(3.32)

Подставляя в (3.32) LIU⋅⋅=ω, получим: 222mmILLIW⋅=⋅=.

(3.33)