* = , , , < . Если ̸= 0, то все производные вычисляются. Тогда можно разложить в ряд Тейлора:
|
|
|
∞ ∂ + |
|
|
( |
1 |
|
*) ( |
2 |
|
*) |
||
( ) = |
|
|
( *) |
· |
|
− |
1 · |
− |
2 |
. |
||||
|
∂ 1∂ 2 |
|
|
|
! ! |
|
|
|
||||||
|
R |
|
∑, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Коши-Ковалевской. Рассмотрим задачу Коши:
= |
= |
∂ |
|
= |
|
∂ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть , , - вещественные аналитические функции.
: ( ) = 0. - вещественная аналитическая. - не характеристическая.
Тогда для любых вещественных аналитических , , существует единственное решение задачи Коши в окрестности (также вещественное аналитическое).
В теореме Коши-Ковалевской оператор не обязательно линеен, размерность может быть больше 2.
= ( , 1 , . . . , , { }, { }, . . . )
1.13Корректность.
Задача хорошая, если у нее существует единственное решение. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Задача Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∂ |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(линейное) |
(банахово) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= ; |
|
|
=0 |
= ; |
|
|
|
= . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
= |
0 |
|
− |
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R+) |
|
|
|
|||||||
|
|
= sup |
|
|
|
|
Непрерывна |
в (R |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
‖ |
R | |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
≥0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(2) |
(R ) |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R |
× R+) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
(R |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задача Коши |
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = (R × R+) × (2)(R ) × (1)(R )
: → 1 ‖ ‖ 1 = ‖ ‖ + ‖ ‖ + ‖ ‖.
23
Решение единственно в области = {0}
Решение существует для любого 1 = 1= . Решаем задачу: = −1
Определение: задача корректна, если решение:
1. существует для любого 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. единственно в классе ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
−1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ - непрерывно. |
|
0 ≤ ‖ ‖ 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
−1 - линейно. Непрерывность: |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример плохой задачи : (Адамар) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (−∞, +∞); |
|
|
2 [0, ]. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= ( 1, 2); |
|
: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 1 + 2 2 = 0; |
2=0 = ( 1); |
|
|
|
2 |
2=0 = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( |
|
|
|
) |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
= 0; = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 = sup |
( 1 |
, 2) . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R) |
|
|
|
|
|
} |
|
|
‖ |
|
‖ |
|
Π | |
|
|
|
| |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = sup ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
|
‖ |
|
|
R |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
Построим последовательность { } : |
|
|
‖ ‖1 |
= 1; ‖ ‖0 −→∞→ ∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Эти |
= |
1 |
sin( 1), |
N; |
|
|
|
‖ ‖ = |
1 |
|
→ 0, |
‖ ‖ → ∞ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( 1 |
, 2) = |
|
1 |
|
sin( 1)( 2 |
+ |
− 2 ) |
= |
|
1 |
sin( 1) ch( 2). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) 2 |
|
= + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= 0 |
|
|
|
2 2 |
=0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) 1 |
1 |
|
= |
− 2 |
|
|
|
( ) |
|
|
|
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ ‖0 = supΠ |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
2 |
) |
= |
1 |
|
|
|
|
+ − |
|
) −→ ∞ |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 sin 1( |
|
|
+ |
|
|
2 ( |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. даже незначительное колебание может давать экспоненциальное отклонение. Возможные выходы из ситуации: ‖ ‖0 ≤ ‖ ‖1 Но даже если потребовать (100), то вместо просто пишется 101 и все плохо. Так что не справиться конечным числом производных.
24