Глава 6
Пространства Соболева.
6.1Соболевские производные.
(Обобщенные производные по Соболеву)
Пусть есть , 1, ( ); будем обозначать через них обобщенные функции: и .
Определение : = ∂ – производная по Соболеву, если = ∂ в |
′( ) . |
|
|
|||||||||
|
|
|
= (−1)| | < , ∂ >. |
|||||||||
Смотрим, как действуют функционалы: < , > = < ∂ , > |
||||||||||||
( ) ( ) = (−1)| | |
( )∂ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
∫ |
( ) |
|
|
|
|
||||
Ω |
|
|
Ω |
0∞ ( ) |
|
|
|
|
|
|
||
Определение’ : = ∂ |
|
, если |
( ) ( ) = (−1)| |
|
| |
( )∂ |
|
( ) . |
||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
1, ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
Ω |
|
|
Свойства :
1.Если ( )( ), то существуют все соболевские производные ∂ , где | | ≤ , причем
(∂ )собол = (∂ )класс.
Для ( )( ) |
0(∞)( ) |
∫ |
∂ |
· = (−1)| | |
|
· ∂ . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
||
2. Соболевская производная единственна с точностью до п.в., то есть |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∂ } |
= = п.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∂ |
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
∞ |
) |
∫ |
̃ |
∫ |
|
|
∫ |
|
∫ |
− |
|
ОЛВИ |
|
|
||
|
|
|
= ( 1)| | |
|
|
|
) = 0 |
= |
п.в. |
|||||||||||
|
|
|
|
( ) |
∂ |
|
= |
= |
|
( |
|
= |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
− |
· |
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
̃ |
|
̃ |
||
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
Ω |
|
|
Ω |
|
|
Ω |
|
|
|
|||
2’. = ∂ . = ̃ п.в. = = ∂ ̃. То есть, соболевские производные опрделяются для классов эквивалентности (две функции эквивалентны, если они равны п.в.). И сама производная также равна какому-то классу эквивалентности.
73
3.Классическая производная – определяется поточечно, в то время как соболевская определяется во всей области (в определении пишем класс функций 0(∞)( )).
|
= ∂ в = для |
= ∂ в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= (∞)( ) |
|
(∞)( ) = |
|
|
равенство в определении не исчезает (не появились |
||||||||||||||||||||||||||||
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω −→ |
|
|
|
новые функции, на которых что-то может испортиться). Также заменяем |
∫ |
R∫ |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Линейность: ∂ ( 1 1 |
+ 2 2) = 1∂ 1 + 2∂ 2 – очевидно. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Примеры : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
{ |
0, |
|
< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 1, |
= |
|
|
, |
( ) = |
|
= |
|
, |
≥ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
– регулярная обобщенная функция. ′ |
= + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
′, |
+ 1, ( ). |
|
|
+( ) = ′( ) – соболевская производная. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
( )′′ = – не регулярный функционал, поэтому не существует соболевской ′′. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Рассмотрим область с перепонкой: = − +. |
= ∂ (2). |
(2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
{ |
|
+ |
( ), |
|
+ |
, |
|
± (1)( ±). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение : имеет соболевскую производную тогда и только тогда, когда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
{ |
( |
) |
( ), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
+ Γ = − Γ (то есть ( )), при этом ( ) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( +) |
( ), |
+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. ∂ ± – кусочно-гладкие многообразия. 0(∞)( ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
+ |
= |
− ∫ |
|
( +) + |
∫ |
+ cos( , ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω+ |
|
|
|
|
∂Ω+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂ + = +. Так как |
0(∞)( ), то + = 0. То есть ∂Ω+ |
. . . |
= Γ . . . |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
+ |
= |
− ∫ |
|
( +) + |
∫ |
+ |
cos( −, ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω+ |
Ω∫− |
|
∫ |
|
|
|
Ω+ |
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω∫+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Складываем: |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω∫ |
|
|
= − Ω∫ |
+ ∫Γ |
+ cos( +, ) + ∫Γ |
− |
cos( −, ) |
|
||||||||||||||||||||||||
74
, где ( ) = |
{ |
( |
|
( )) |
( ), |
|
|
|
|
( +( )) |
( ), |
|
+ |
||
|
|
|
− |
|
|
|
− |
В любой точке на + и − противоположно направлены = cos( −, ) = −cos( +, ).
∫ ∫ ∫
= − + ( + − −) cos( +, )
Ω Ω Γ
– соболевская производная |
|
∫ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вернемся к утверждению теоремы: + Γ = − |
|
Γ = = 0 – очевидно, под интегралом |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоит ноль. |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В обратную сторону: 0∞ ( ) |
|
= |
0. ( Γ – произвольная). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Γ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– гладкая |
[. . . ] = 0 |
|
= |
[. . . ] = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( +( ) − −( )) |
cos( +, ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Берем : |
|
cos( +, ) ̸= 0 |
= +( ) − −( ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Рассмотрим функцию (1)(R {0}): |
( ) = − ( ), |
|
[0 : − 1]. |
||||||||||||||||||||
| ( )| ≤ |
|
. |
| ( )| ≤ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
| | +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если выполнены эти неравенства, то , |
1, (R ). |
( ) = ( ). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
класс |
собол |
||||||||
6.2Соболевские производные на отрезке.
Определение : Функция абсолютно непрерывна на отрезке [ ; ], если
|
|
|
|
|
> 0 |
> 0 : |
∑ |
( − ) < = |
∑ |
{( , )} =1 – ( ; ) |
| ( ) − ( )| < . |
|||
|
|
=1 |
|
=1 |
абсолютно непрерывна ≠ равномерно непрерывна ( := 1).
{абсолютно непрерывные } $ { равномерно непрерывные }
Пусть - монотонно возрастающая непрерывная функция. ≥ = ( ) ≥ ( ).
непрерывна = можно определить меру ( ; ) = ( ) − ( ). Определение : мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, если
> 0 > 0 : | | < = ( ) < .
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
( ; ). |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
– абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. |
|||
|
абсолютно непрерывно |
|
||||
Когда-то было, что абсолютно непрерывна относительно меры Лебега |
||||||
плотность 1: ( ) = |
∫ ( ) ; |
( ) = |
|
. |
||
|
||||||
75
абсолютно непрерывна |
|
|
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега |
|||||||||||||
1( ; ) : |
( ; ) |
|
|
|
|
∫ |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
( ) = |
( ) |
|
|
|
|
|||||
Если взять = ( ; ), то ( ) − ( ) = |
|
( ) . |
|
|
|
|
||||||||||
Определение : – абсолютно непрерывна на∫ |
( ; ), если |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1( ; ): |
, 0 ( ; ) |
|
( ) = ( 0) + ∫0 ( ) . |
|
|
|
|
|||||||||
= ′ – классическая производная, заданная почти всюду. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
абсолютно непрерывна |
|
|
П.в. существует классическая производная ′: |
|||||||||||
То есть |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( 0) + ∫0 ′( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема. Функция 1, ( ; ) имеет соболевскую производную |
= п.в., где |
|||||||||||||||
– абсолютно непрерывная на |
[ ; ] |
|
( ; ) |
. При этом соболевская |
′ |
равна |
классической |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
̃ |
̃ |
|||||||||
′ почти всюду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
̃ |
|
|
|
: пусть – абсолютно непрерывная. Нужно проверить, что существует |
||||||||||||
Доказательство. |
|
|||||||||||||||
соболевская производная ′, равная классической ′. |
|
|
|
|
||||||||||||
0(∞)( ; ) |
|
– абсолютно непрерывная на [ ; ], поскольку ограничена, поскольку |
||||||||||||||
непрерывна на компакте, значит в неравенстве из определения абсолютной непрерывности
правая часть домножится на константу . Надо будет взять > 0 :, соответствующее |
|
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
для , и тогда это будет соответствовать для . |
|
||||||
Существует классическая производная: ( )′ = ′ + ′ . |
|
||||||
|
( ′ + ′ ) = ( )( ) − ( ) |
0 |
|
. |
|
||
∫0 |
) |
|
|||||
|
|
( )( |
|
|
|
||
0 := , := . Так как 0∞ , то ( ) = ( ) = 0. |
|
||||||
|
|
′ . ′ – производная по Соболеву по определению. |
|
||||
∫ |
′ = − ∫ |
|
|||||
класс
: пусть |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
( ; ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
– соболевская производная |
|
|
. |
|
, |
|
|
|
1, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Фиксируем 0 ( ; ) и рассмотрим ( ) = |
0 |
′( ) , |
|
′ |
1[ ; ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Тогда удовлетворяет одному из свойств, равносильному∫ |
абсолютной непрерывности, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– абсолютно непрерывна. Классическая ′ |
= ′ п.в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
По : существует |
′ |
( ; ) |
, |
′ |
|
|
|
= ′ |
|
|
= ′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
собол на |
|
|
собол |
|
п.в. |
класс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
:= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
− |
. Для нее п.в. существует |
соболевская ′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Есть |
обобщенная функция |
|
′( ; ). ( |
|
)′ |
= 0 |
= |
|
|
|
= |
. |
|
= |
п.в. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( ) = + ∫0 ′( ) = ( ) п.в.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример : (уравнение колебания струны) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Замена: { |
= + |
|
Получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 = 0 |
|
|
= |
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
( ) |
|
= 0 |
|
|||||||||
То есть |
|
не зависит от , |
|
= ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
76
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = ( 0, ) + ∫ |
( ) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||||
Общее решение уравнения имеет вид ( , ) = ( − ) + ( + ).
Рассмотрим часть решения ( − ). У нас есть график функции ( ) (он же получается
при = 0). С изменением график функции (относительно ) смещается на единиц вправо (то есть, интуитивно, колебание возникло и побежало вправо).
Аналогично ( + ) – график смещается на единиц влево. То есть, в совокупности, колебание как-то возникло и распространяется в обе стороны с равной скоростью. Далее
зачем-то переименуем в , а в .
Утверждение : пусть есть функции ( ) и ( ) (не обязательно абсолютно непрерывные). Тогда существует соболевская производная ( ( )+ ( )) = 0. То есть ( − ) + ( + )
– решение уравнения колебаний струны в ′.
Доказательство. ( ( )) = 0 в R2?
0(∞)(R2) |
< ∂2 ( ), > = 0 < ( ), ∂2 > = 0 |
|||||||||||||||
( ) |
|
( , ) = 0 |
|
|
2 |
(∞)( |
|
) |
|
|
|
|||||
R∫2 |
|
|
( |
) |
|
), |
? (для |
|
0 |
2 |
R |
|
) |
2 |
= ( , ) = 0. Поэтому достаточно |
|
Так как |
0∞ |
|
(R |
то : |
|
|
+ |
|
≥ |
|
||||||
интегрировать по шару (при этом на границе = 0. Также можем взять шар чуть побольше и производная по также будет ноль):
∫ ∫
( )
( ) ( , ) = ( ) ( , ) =
R2
+( )
∫ ∫
( )
= ( ) ( , )
− −( )
|
2+ 2≤ 2 |
|
|
( ) · ( ( , +( )) − ( , −( ))) = 0 на границе. |
|
∫ |
0 |
|
= |
= |
|
− |
|
|
Аналогично для ( ).
77