Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matphys_tex.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

932.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

6.8Неравенство Фридрихса.

Теорема. – ограниченная область = существует C: 1( )

Ω∫

| |2 ≤ Ω∫

| |2 = Ω∫

( 21 + · · · + 2 ) .

То есть ‖ ‖ 2(Ω) ≤ ‖ ‖ 2(Ω).

Доказательство. 1. Пусть для начала 0(∞)( ). Существует -мерный куб, содержащий

= { R	< < +	[1 : ]}.	:= sup , ′ Ω \| − ′\| = .

0(∞)( ) = 0(∞)( ). = ( 1, . . . , −1, ). ′ ′ R −1.

′ R −1

Зафиксируем

′

′.

′

′,∂

′

, ))

′

) = 2

( ) +

( 2(

∫

2( ′, ) ≤

∫

2 · | ( ′, ) · ( ′, )| .

. . .

∫

2( ′, ) ≤ 2 ∫

∫

| ( ′, ) · ( ′, )|

(

)

∫ . . .

∫

∫ . . .

′ .

∫

(не зависит от ) =

′

∫

| |2 ≤ 2

∫

| ( ′, ) · ( ′, )| ′

)

( ′

= 2 ∫

| ( ) ( )| ≤ 2

∫

| ( )|2 ·

∫

| ( )|2

∫

≤ 4 2 ∫

| |

≤|

2. Пусть 1( ). По определению, существует { } 0(∞)( ) : → в 1( ).

∫	\| \|2	≤ 4 2	∫
Переходим к пределу в неравенстве:	\| \|2	≤ 4 2	\|( ) \|2	.

Сходимость в 1( ) означает, что → в 2( ) и					( ) → в 2( )
‖ ‖ 2(Ω) → ‖ ‖ 2(Ω).		‖( ) ‖ 2(Ω) → ‖ ‖ 2(Ω).
	∫	\| \|2 ≤ 4 2	∫	\| \|2 .
И того получаем, что:		\| \|2 ≤ 4 2		\| \|2 .


Упражнение : Доказать, что 1( ) $ 1( );				– ограниченная область.

Замечание : (распространение по непрерывности)

Рассматриваем неравенство ( ) ≤ ( ), где (нормированное пространство). и– непрерывные функционалы.

Для его доказательства можно поступить так: сначала рассмотреть 0 , где 0

– всюду плотное в . Доказываем для всех таких .

Пусть . Тогда { } 0 : → в . Есть неравенство ( ) ≤ ( ).

Делаем в нем предельный переход и получаем желаемое ( ) ≤ ( ).

Этим приемом мы сейчас и воспользовались ( = 1( ), 0 = 0(∞)( )).

В частности, это работает для равенства ( ≤ и ≤ = = ).

Еще пример : 1( ), 1( ) ∫ = − ∫

ΩΩ

Доказательство. Пусть 1( ),

0(∞)( ).

(

, )

( , )∫

∫

По определению соболевской производной:

= −

−

Иначе перепишем:

2(Ω)

2(Ω).

Вместо рассматриваем . → в 1( )

→ в 2( ).

( ) →

в 2( ), поскольку 1( ).

Скалярные произведения непрерывны.

Предельный переход: ( , ) 2(Ω) =

− ( , ) 2(Ω).

6.9 Эквивалентные нормы в

1(Ω) .

1( ) 1( )

Определение : - лин множество

‖ ‖0, ‖ ‖1

- нормы на .

Нормы эквивалентны, если 0, 1:

‖ ‖0

≤ 0 ‖ ‖1

‖ ‖1

≤ 1 ‖ ‖0

→ по норме ‖ ‖0

→ по норме ‖ ‖1.

‖

‖ 1(Ω)

√

Ω |

Новая норма:

∫

1(Ω)

‖

‖ 1(Ω)

√

1(Ω)

∫

∑

И того, новая норма:

( , ) =

( ; )

Утверждение : - огр. ‖ ‖ – эквивалентно исходной норме ‖ ‖ 1(Ω).

1(Ω)

Доказательство. Нужно проверить, что существуют 0, 1:

‖

‖ 1

(Ω)

∫

≤

∫

| |

‖

= 0

1(Ω)

0 := 1 – очевидно верно. Другая константа:

	\| \|2	≤ 4 2	Ω∫	\| \|2			1	= 1 + 4 2 (из неравенства Фридрихса)
					‖·‖ 1	(Ω)		· ·	1	(Ω)
Следствие : 1( ) с нормой							и скалярным произведением ( ,		)	- гильбертово.

6.10Теорема Реллиха

Теорема вложения. Что такое вложение:

Пусть - лин множество. ‖·‖0, ‖·‖1 – нормы на .

0 = ( , ‖·‖0), 1 = ( , ‖·‖1)

: 0 → 1 – оператор вложения 0 в 1.

- линейное отображение. Непрерывен (поскольку ограничен) и компактен. Непрерывность: ‖ ‖1 ≤ ‖ ‖0 ‖ ‖1 ≤ ‖ ‖0 Вложение компактно: { } , ‖ ‖0 ≤ = { }: – сходится в 1.

Обозначается 0 ˓→ 1. На самом деле, не так, просто я не нашел подходящего символа. Нормы ‖·‖0 и ‖·‖1 эквивалентны 0 ˓→ 1 и 1 ˓→ 0 – непрерывны.

Теорема Реллиха. Пусть – ограничено. тогда 1( ) ˓→ 2( ) – компактное отображение,

то есть

в 2( ).

{

}

1( ) :

‖

≤

{

}

→

∫

‖ 1(Ω)

( ) 2

‖

‖ 1(Ω) ≤

≤

Доказательство. : −→ – компактное 1( ) → 2?

1. Пусть 0(∞)( ) – строим представление для (рассматриваем 0(∞)

(Ω)).

( ) = −

∫

Лапласа:

( − ) ( ) , где – фундаментальное решение оператора

{

−

ln ,

= 2

, ≥ 3

( ) =

( 2) 1|| | −2

−

| |

≥ 3: Рассмотрим слагаемое (из суммы по ): ∫ −2 ( )

| − |

Фиксируем

( ) :=

Было:

( )

(∞)( = )

| − |

−

– однородная по y степени −

, то есть

( ) = − ( )

−

соболевская

= классической.

– соболевская.

(∞)

(

| − | −2

)

( )

∫

−2

= −

∫

−2

( )

(

)

−

класс

( ) := ( ), 0(∞)( ) = 0(∞)( ).

Ω∫

( − ) ( ) =

Ω∫

( ( − ))

( )

( ) =

∫ =1 ( ( − ))

∑

Ω( , )

( , ) (∞)( ̸= ) - однородный по ( − ) степени −( − 1)

( , ) −

| − | – ядро со слабой особенностью ( = ( 1) < ).

Будем сопоставлять ядро .

∫

( )( ) =

( , ) ( )

∑

( : −→ )

( ) =

=1( )( )

∑

1(Ω)

2. Рассмотрим

(∞)

( ):

( ).

( ) = { } 0

→ в

Из этого следует, что → в 2( ).

: 2( ) → 2( ) - непр, при - огр.

: 1( ) → 2( ) - непр.

Верно ли, что ( ) → ?

1( )

2( )

2( ).

−→

2( ) – линейный непрерывный 1( )

→

непр

∑

)( ) почти всюду, поскольку:

( ) =

( )( )

( ) =

(

∑

( ) → ( ) п.в. и

=1( )( )

→ =1( )( ) в

2( ) .

		=	∑
		=	.

	– компактный 2( ) → 2( ) .
	1	(Ω)	=1
			=1
	– компактный, – непрерывный			= – компактный. Конечная сумма
компактных операторов компактна.

		∑
=		– компактный оператор.
		=1

Упражнение : может ли быть верным неравенство Фридрихса для неограниченной области?

Ответ положительный. Предлагается придумать такую область. Для R неравенства нет. Там вроде идея в том, что нельзя дать шарику фиксированного радиуса уйти на бесконечность.

Для = R нет компактности вложения.

6.11Пространства −1(Ω)

- пространство ф-й, производные которых до порядка принадлежат 2( ).

	′( )		{	( ) < , >			1( ) }
Определение : −1		=		′( )	- линейный непрерывный функционал в		1( ) }
						- значение функционала .
						- значение функционала .

– линейный непрерывный в нормированном пространстве , если |< , >| ≤ ‖ ‖ .

В нашем случае: ( )

|< , >| ≤ ‖ ‖ 1(Ω).

Поэтому −1( ) продолжается

( ) = 0(∞)( ). 0(∞)( ) – всюду плотно в 1( ) .

до линейного непрерывного функционала на

1( ) .

Определение’ : −1( ), если - линейный непрерывный фунционал на

1( ) .

Определение Определение’:

T – линейный

непрерывный на

1( ) .

– линейный функционал на 1( ) .

( ).

(Ω)

→

0 в ( ) =

Примеры : фиксируем 2( )

′( ).

Утверждение : −1( )

0(∞)( )?

Доказательство. |< , >| ≤ ‖ ‖ 1(Ω)

∫

≤

∫

∑

≤ ∫

∫

Ω	Ω	Ω

		2
		≤‖ ‖ 1(Ω)

( ) =

−1

( )

−1

( )

Пример 2 : 2( )

∂ ′( )

< ∂ , >

= − < , ∂ >

Утверждение : ∂ −1( ).

< ∂

, >

Доказательство. 0(∞)( )

≤ ‖ ‖ 1(Ω)?

< ∂

, >

≤

∫

· ∫

= ∫

Гельдер Ω

∂ −1( ).

2( )

−1( )

Определение : −1( ). Норма функционала на

−1( ) :

‖ ‖ −1(Ω)

inf{

|< , >| ≤ ‖ ‖ 1(Ω) ,

0(∞)( )}

Примеры :

( ) =

−1( ).

|< , >|

≤

‖ ‖ 2(Ω) · ‖ ‖ 1(Ω)

= ‖ ‖ −1(Ω) ≤ ‖ ‖ 2(Ω) .

Для 2(

‖ ‖ − (Ω) ≤ ‖ ‖ 2(Ω)

Гельдер

)

1(Ω) ≤ ‖ ‖ 2(Ω).

2( ). Тогда ∂

−1( ).

∂

−1(Ω)

−1( ) – полное пространство.

( ) ˓

−1( )

∂

( ) ˓

−1( )

→

∂ 2( ) → −1

−1( ) =

Теорема.

( ) :

= +

∑

∂

{ } =1 2

Доказательство. −1( ) = ( 1( ))* (по определению).

1( ) – гильбертово пространство. ( , )

1(Ω)

По теореме Рисса: пусть – линейный непрерывный∫функционал∑

на гильбертовом пространстве

. Тогда существует и единственный :

( ) = ( , ).

< , >

= ( , )

( 1( ))*

1( ) :

1(Ω)

∫

∑

( ) := ( ).

( ) := − ( ).

∫

+ =1 ∂

, > = < , > − =1 < , > =

− =1 ∫

∑

∑Ω

Утверждение : ∂ :

2( ) → −1( ) – линейный непрерывный.

(Ω) ≤ ‖ ‖ 2(Ω).

Доказательство.

−1

−1(Ω) =

, >

≤ · ‖ ‖ (Ω).

inf :

≤ ∫

· ∫

∫

< , >

≤ ‖ ‖ 2(Ω) · ‖ ‖ 1(Ω).

−1

(Ω) ≤ ‖ ‖ 2(Ω).

Рассмотрим ∂ :

1( ) → 2( ) – соболевские производные.

2( ) → −1( ) – обобщенная производная в ′( ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019147.46 Кб3materiali_do_seminarskikh_zanyat.doc
#
15.04.2015128.51 Кб39Materialy_k_lektsii_Psikhologi (1).doc
#
22.11.201934.82 Кб2Material_6_Slogany_dlya_FGOS.doc
#
05.08.2019176.5 Кб4math_analys.rtf
#
21.03.20169.57 Mб354matlab_manual.rtf
#
16.04.2015932.96 Кб143matphys_tex.pdf
#
02.09.201932.38 Кб7Matritsa_Pervichnogo_SWOT-Analiza_Gruppa_25 (1)...docx
#
22.05.2015341.74 Кб628Mat_metody_Otvety_na_test.docx
#
13.08.2019398.67 Кб6Maykl_Yapko_-_Gipnoz_dlya_psikhoterapii_depress...docx
#
15.04.2015431.91 Кб124Mchp_2014_-_Vse_Voprosy_K_Ekzamenu.docx
#
23.11.2018463.36 Кб10mchs_ocenka.doc