- •Введение
- •Постановка задач
- •Вывод уравнения теплопроводности
- •Постановка задачи для уравнения теплопроводности
- •Вывод волнового уравнения (уравнения колебаний). Вариационный принцип.
- •Струна
- •Постановка задачи для волнового уравнения.
- •Классификация уравнений второго порядка.
- •Замены переменных.
- •Постановка задачи Коши.
- •Распрямление поверхности.
- •Корректность.
- •Интегральные операторы.
- •Фан фанский.
- •Ограниченность интегральных операторов
- •Операторы со слабой особенностью.
- •Задача Штурма-Лиувилля.
- •Постановка задачи.
- •Функция Грина.
- •Задача ШЛ и интегральное уравнение.
- •Задача на собственные числа.
- •Гармонические функции
- •Формулы Грина.
- •Фундаментальное решение оператора Лапласа.
- •Принцип максимума.
- •Постановка краевых задач. Теоремы единственности.
- •Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности.
- •Следствия из формулы Пуассона.
- •Объемный потенциал и его свойства.
- •Теоремы о разрешимости краевых задач.
- •Обобщенные функции
- •Действия с обобщенными функциями.
- •Фундаментальное решение.
- •Пространства Соболева.
- •Соболевские производные.
- •Соболевские производные на отрезке.
- •Замкнутость дифференцирования.
- •Продолжение нулем.
- •След функции на границе.
- •Неравенство Фридрихса.
- •Теорема Реллиха
- •Стандартный эллиптический оператор.
- •Решение краевой задачи.
- •Теоремы единственности.
- •Энергетическое пространство.
- •Абстрактное уравнение.
- •Исследование абстрактного уравнения.
- •Разрешимость абстрактного уравнения.
частн = ( ) |
Для каких : = = (2)? |
||
Когда (2)? |
|||
0, = (2). |
̸= . |
||
Для |
|
|
|
|
>0 |
|
|
решения = достаточно решить = 0.
4.10Теоремы о разрешимости краевых задач.
Теорема (Дирихле). Есть задачи ( = ) |
и |
( = ): ( = ∂ (2)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= 0, |
|
|
|
= , |
|
|
|
(2)( ) |
∩ |
( |
|
). |
У |
|
|
поведение на |
∞ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- правильное |
|
( ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
задач |
|
|
|
|
и |
|
|
существует и единственно для |
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Теорема (Неймана). Две задачи Неймана: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
: = |
0, |
∂∂ |
|
= , |
(2)( )∩ ( ). У - правильная нормальная производная. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
∫ |
= 0 |
|
||||||||||||||||
|
существует для |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(2)( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Т.е. 1 |
|
|
|
|
|
Ω |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в 2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
: |
≥ |
|
|
3 В |
|
|
|
|
= |
0, |
|
∂ |
|
|
= |
, правильная |
нормальная производная. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
∩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
( ) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поведение на . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
); - правильное |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Решение задачи |
существует для любой ( ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
58