7.4Энергетическое пространство.

* :

( ) + *

0

1( )

Введем на

энергетическую норму. Существует

0

≥

.

2

:=

( )

+ ( ( ) + *) 2

0

| |

.

Ω , =1

Вводим энергетическое∫ ∑

скалярное произведение:

( , )

:=

∫2

( ) + ( 0( ) + *) .

∑

Тогда

Ω

, =1

= ( , )

1

.

(Ω)

‖ ‖

Утверждение : на 1( )

Доказательство. Нужно доказать существование констант 0, 1

:

≤

0

‖ ‖ 1(Ω)

∫

+ ( ( ) + *) 2

2

.

( )

∑

∫

0

≤ 0 | |

Ω , =1

Ω

Ω

Ω

1 ∫

( ) + ( 0( ) + *) 2 ≥

∫

| |2 .

∑

Ω

, =1

≥0

Ω

(забьем)

≥ | |2

(нер-во элл-ти)

2

∫

2

2

1

Получаем

=

.

1 := .

≥

|

|

‖

‖ 1(Ω)

Ω

‖ ‖2 1(Ω)

= ‖ ‖2

2(Ω) + ‖ ‖2

2(Ω)

2

=

‖

‖

2

1

(Ω)

‖

‖ (Ω)

2

2

=

∫

( )

+ ( ( ) + *)

2

∑

|

|

0

1.

1( )

2.

( ( ) , ) + 0( ) =

< , > .

1( )

∫

Ω

∫

Прибавим к обеим частям * . Слева получим энергетическую норму.

Ω

∫

( , ) =

+ *

< , >

Ω

.

,

1( ) . В задаче рассматривается

−1( )

– линейный непрерывный функционал на

1( )

=

).

( и на

По теореме Рисса существует единственный элемент :

< , > = ( , ) .

Расмотрим отношение : → ∫

. Проверим, что это линейный непрерывный

функционал на .

Ω

2

| ( )| ≤ ·

?

∫

≤ 2

·

2 ?

2

Ω

∫

≤

∫ 2

∫

2

≤ 4 2 ∫

| |2

Ω

–

Ω

Ω

Ω

2

Гельдер

фиксированная функция из

( ).

∫

2

2

=

2

1

2 .

Так как норма энергитическая и норма 1( ) эквивалентны, то

|

|

‖

‖ 1(Ω) ≤

Таким образом доказали непрерывность .

Ω

+ *( , ) .

∫

( . )

= ( , )

По теореме Рисса ! :

= ( , ) .

Ω

Интегральное тождество переписывается в виде:

( − * − , ) = 0

.

∫

( , ) =

< , >.

( , ) =

.

Ω

Доказательство.

1.

( , )

=

Ω∫

линейно по

линейно

по

2. Проверяем ограниченность:

≤ · ‖ ‖ 2(Ω) ,

?

2 = ( , ) =

≤ ‖ ‖ 2(Ω) · ‖ ‖ 2(Ω) .

Ω

( )( )( )

∫

(Ω)

1

‖

‖

2

≤

‖

2 ‖ 1(Ω) ≤

Получаем:

. Делим на

, если можно.

1

≤

‖ ‖ 2

и непрерывного:

компактный в

? Представим его в виде композиции компактного

3.

–

: −→ 2( ) −→ .

Последнее отображение непрерывно по пункту 2.

Первое – доказывали компактность вложения

1( ) в

2( ) (теорема Реллиха).

Если доказывать на языке последовательностей:

Пусть есть ограниченная последовательность { } . Нужно доказать, что существует

подпоследовательность :

{ }– сходящаяся в .

По теореме Реллиха: { }

– сходится в 2( ). Тогда { } – фундаментальная.

− ′

2(Ω) → 0.

(

− ′ )

≤

− ′

2(Ω) → 0.

Пространство

– полное

=

– сходится

в

.

{

}

4. = *?

( , ) = ( , ) ?

( , ) =

.

Ω

∫

( , ) = ( , ) =

Ω

∫

∫

5. ( , ) ≥ 0?

≥ 0.

Ω

− * = эквивалентна интегральному тождеству.

– решение

( )

0

u – обобщенное решение =

абстрактного

уравнения

= 0.

Есть частный случай 0

. В этом случае решение абстрактного уравнения существует

и единственно.

≥

Теорема’. Рассмотрим задачу = ,

= 0,

−1( ).

=

( )

, ,

( )

можно представить в виде:

∑

2 .

0

−

=1

0

∫

= 0.

∑

= 0 для – обобщенного решения = 0,

Ω

0 + =1

уравнения

краевая задача

абстрактное уравнение разрешимо для любой

= , = 0

разрешима для −1( ) : = 0

− =1( ) .

Если единственности

∑

нет: нет ее и для абстрактного уравнения.

) = ( + * )

– обобщенное решение = 0,

= 0 .

(

→

=

1

−

1

{

}

(→

)

<

.

−

1

∞

1

→

только тогда, когда { } в .

: = 0, 1

= 0

0 = ( , ) = < , >.

= 0.

(

−

( ))

< , > = 0 : = 0,

−

1( ) = =

0 −

( )

;

,

( )

.

=1

0

2

∑

< ,

> = ∫ 0 + ∑

= 0

: . . . , а справа и стоит то самое условие

Ω

=1

– фредгольмовский, если

< ∞,

– замкнут,

= ( / ) < ∞.

Оператор задачи Дирихле – фредгольмовский.

Пусть – фредгольмовский:

Существует :

+ = .

).

= – разрешимо

. ( – гильбертово, ( , ) = 0

1, 2 – решения; 1 − 2 – конечномерно в .

Пример : = = . = +

– фредгольмовский.

= ( + *).

= ( + ).

+ = .

комп

Ядро оператора конечномерно.

< , > =

0 :

= 0,

= 0

= ,

= 0. Существует обобщенное решение

.