Обобщенные функции

От Distribution - распространение.

Были 0(∞)( ) – гладкие финитные функции на

. ( ) = 0(∞)( ) (содержат одни и

те же элементы, но будут отличаться сходимостью).

Сходимость: { } ( R );

→ в ( ), если:

1. ∂ ∂

(равномерно по ).

→∞

Z+

= ( 1, 2, . . . , ),

∂

= ∂ 1 ∂ 2 . . . ∂

1 2

2.

:

– равномерная финитность.

в ( )

=

: все ( ) = 0 при ( , ∂ ) <

компакт

→

Линейное : ( ) → – непрерывно, если

→ в ( )

= → в .

ОЛВИ. 1, ( ) – локально интегрируемая (в любом компакте).

( )

∫

= 0 = ( ) = 0 п.в.

∫

0(∞)( )

Ω

= = 0 в 2( ).

Если предположить, что функция: ( ), 2( ) =

= ( , ) 2(Ω) = 0

Определение : 1, ( )

1( ) ( )

1( )

∫

| | =

∫

| |

≤

∫

| | ≤ ∞.

Ω

=

| ( )| ≤ , – непр на комп

1. Умножение на функцию из (∞):

( );

( );

(∞)

−→

Оценим по модулю:

max

| ≤

max

max

|

|

|

| ·

|

∂ ( ) = ∂ ·

+ ·∂ 0,

т.к.

0 и ∂ 0,

∂ и ограничены

(b) Т.к. { } сходится в ( ), то = ( 1, . . . , )

∂ 0

функционалов над ( )

({ : ( ) → C

– линейный непрерывный}). Элементы ′( )

Вместо пишут <

,

>.

– обобщенные функции.

1

1

2

– линеен:

′(Ω)

(Ω)

< ,

+ 2 >= 1 < , 1 > + 2

< , 2 >

– непрерывен: → 0

в

( ) = < , >→ 0 в

C

′( ) – линейное пространство.

′( )

,

′( ) =

+

2

:

1

2

можно определить отображение

1

1

2

< 1 1 + 2 2, > := 1 < 1, > + 2 < 2, >

Сходимость в

′( ) :

′( ) , если для ( )

< , > → < , >.

{ } ′( );

→ в

в ′( ) существует предел из

′( ) .

Рассмотрим { } ′( ).

Для ( )

{< , >} – последовательность в C

:

:= lim < , >, то - линейный непрерывный функционал на ( ) .

( )

∫

на любом компакте из ). Введем функционал :

( ) −→ ( ) ( ) .

∫

∫

Ω

=

, а – компакт, т.к. u ( ) = 0∞ . Интеграл по компакту абсолютно

Непрерывность: Должно быть: → 0 в

∫

→ 0

( ) =

Из сходимости { } в

Ω

( ) следует, что компакт :

=

max

( )

∫ |

∫

∫

≤

|

| ·

|

( )

Ω

→0 (из равномерной

сходимости на )

= 1 1 + 2 2.

∫

∫

∫

< , > =

= 1

1 + 2

2

Ω

Ω

Ω

= 1 1 + 2 2 .

< , >= 1 < 1 , > + 2 < 2 , >.

Взаимная однозначность: Пусть 1, 2

: 1

= 2

( )

∫

∫

< 1 , > = < 2 , > = 1 =

2

∫

Ω

Ω

= 0 и по ОЛВИ

( ) = 0 п.в.

:= 1 − 2. Тогда ( )

Ω

Пример 2 -функция. = R . ( ) −→(0). < , >= (0)

-линейное непрерывное отображение (R ) → C.

Непрерывность:

→ 0 в (R )

= 0

= < , >= → 0.

Утверждение : – не регулярный функционал (такие обобщенные функции называют

сингулярными).

Доказательство. (Доказательство 1)

пусть

=

(

)

< , > =

= (0)

От противного:

– регулярный

1,

R

:

R∫

.

Положим := R

{0} Расммотрим ( ) (R

). (0) = 0 (т.к. ∂ = {0},

– компакт в

= :

[ ( , ∂ ) < = ( ) = 0] = ≡ 0 в некоторой

окрестности нуля

= доопределяем (0) = 0 по непрерывности).

Т.о. ( )

= 0 =

= 0 п.в. на R {0}

=

= 0 п.в. на R

=

(R )

= 0, что, в общем, не равно (0).

R∫

R∫

по ОЛВИ

мера точки - ноль

Доказательство. (Доказательство 2)

Рассмотрим меру , такую, что R∫ = (0).

{

1,

0

Мера

:

– измеримо по

, положим

( ) =

, то есть мера нуля

:

R

0,

0 /

∫

∫

Хотим, чтобы выполнялось R = R , где 1, (R ). Это возможно, если

абсолютно непрерывна относительно

= 0 =

( ) = 0

), и

R |

|

(то есть

тогда будет плотностью относительно меры Лебега.

Но это невозможно, поскольку |{0}| = 0, а ({0}) = 1

= не абсолютно непрерывна

относительно меры Лебега

= не существует такой .

: ( – компакт) < ∞. Тогда можно рассмотреть < , >

=

– линейный

непрерывный|

функционал.|

R∫

Есть функционалы, которые не порождаются мерами:

Уже показали, что 1, эквивалентно чему–то, лежащему в D’, и не совпадающему с

D’ (например,

-функция не вошла).

< ′, >= − ′(0).

Аналогично с мерами: меры чему–то ′. Рассмотрим ′

:

Не существует меры : (R)

− ′(0) =

+∞

∫

.

Рассмотрим (R ) ∩ 1(R )

( ) = −

·

( )

(0; 1)

−→ :

,

.

=

−→

?

Фиксируем

(R ).

→

0

=

(

< , > =

< , > =

( ) ( )

=

( ) ( ) −→

∫

=

∫

→0

∫

∫

R

R

R

R

)

( ) (0) = (0)

Получаем, что

−→→ R∫

( )

·

0

) существует {

Замечание : для любой сингулярной обобщенной функции (обозначим

}

– регулярные обобщенные: → .

(R ).

↔ –

-образная последовательность. (R ),

Жаргон:

→

в

′

. Фактически, обобщенные функции

→

в

′

, просто так пишут.

Утверждение : для любой обобщенной функции

′( )

(∞)

:

→

в

′

.

{ }

0

Утверждается, что множество регулярных обобщенных функций всюду плотно в ′.

Почему эти

-функции интересны для физиков?

( ) =

0,

= *

Пусть в точке

, в каждой точке есть плотность

,

̸

* сосредоточена масса

{

∞

= * .

=

∫0, т.к. ( ) = 0 п.в. по мере Лебега.

∫

·

, но

= ( *)

в математике

Тогда

= ; У физиков есть равенство