Лекция 2

Свойства математической модели

1. Универсальность

2. Алгоритмическая надежность

3. Обусловленность

4. Точность

5. Объем занимаемой памяти

6. Длительность решения задачи

1. Универсальная математическая модель пригодна для моделирования системы любого уровня сложности, и, как правило, является избыточной.

Специальная математическая модель строится для исследования, как правило, одной заданной системы.

2. Надежность – способность объекта выполнять свои функции на определенном отрезке времени, вероятность появления неисправности на отрезке времени.

Моделирование носит эвристический характер, то есть нельзя строго математически обосновать некоторые элементы модели. Любая математическая модель имеет элементы алгоритмической ненадежности.

3. Обусловленность

y

y₁ y₂

x

x₁ x₂

Математическая модель хорошо обусловлена, когда малым х соответствует малое у.

_y

^{S =} x

Необходимое и достаточное условие обусловленности математической модели:

_y

_x ^{< 1}

Для повышения обусловленности вводят изменение масштаба переменных.

4. Точность. Возникают две проблемы: определение точности математической модели по одной переменной и по многим переменным.

Точность модели должна соответствовать задаче моделирования. Точность моделирования не может быть выше, чем точность определения исходных данных.

5. Объем занимаемой памяти и 6. Длительность решения задачи – вместе это цена модели.

Классификация моделей.

• Феноменологические модели (причинно-следственные)

Это модели, в которых моделируемый объект может представляться как черный ящик.

вход выход

причина следствие

Существуют открытые системы, когда добавляются управляющие параметры (внутренние параметры) – те параметры системы, которые мы можем изменять, но они являются свойствами самого моделируемого объекта.

• Поведенческие модели (модели достижения цели)

Эти модели не имеют входа и выхода, мы не можем воздействовать на систему извне, кроме как изменением ее внутренних параметров. Например, модель экономики всего мира является замкнутой системой.

• Временные модели (динамические модели)

Это модели, в которых время используется как непрерывный параметр.

Если можно найти иерархию между t _i и t _j , т.е.

t _i t _j t _i > t _j , то эта категория есть время.

Как пример можно привести алгебраическую модель исчисления сложных процентов, которая в явном виде время не содержит, а содержит его только как текущий параметр.

• Системы линейных и нелинейных уравнений

• Детерминированные (определенные) модели

• Стохастические (вероятностные) модели

• Аналитические модели

Эти модели могут представляться математическими уровнями.

• Имитационные модели

Представляют собой событийное моделирование. В компьютере программным способом создается диалог системы. (GPSS, Е-сети, сети Петри).

Основные задачи моделирования.

1. Анализ – анализируется, как различные параметры влияют на модель.

y = F (x, [z])

2. Синтез – определение внутренних свойств системы, которые обеспечивают заданную связь между входом и выходом.

z = F (x, y)

3. Диагностика – определение оптимальных параметров входа и выхода

z = F_opt (x, y)

4) Оптимизация – определение за счет чего произошли сбои в системе.

y = F (x, z)

y’ = F (x, z)

y’  y