Лекция №4

Алгебраические системы

Высокой математикой является:

• Теория полугрупп

• Теория образующей грамматики

Аксиоматический метод построения моделей систем:

Группа:

Y=(v * v)

Г=(v,) - операции над элементами

v=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

арифметика

 = +

Образующая грамматика:

Г= Т,А/Т,П,Н

Т – терминальный алфавит

А – полный алфавит системы

А/Т = то в алфавите, что не является терминальным алфавитом

П – правила подстановки

Н – начальный символ

Пусть задан терминальный алфавит, состоящий из 4 букв

Т: a, b, c, d

И нетерминальный алфавит А/Т: k, m, n

Правила подстановки П

(k, m, n) – какие-то сочетания

a, b, c, d – какие-то слова

a* a a

a a* b

a* c c *a

a* d d *b

k m n

Пример 1 : a = ab = cab = acb = aacb = acab

Больше 4 символов по нашим правилам быть не может. В обратную сторону правила тоже действуют.

П

a b c d

ример 2 :

k

m

n

Начальный элемент

Наибольшее по какой-либо характеристике слово, которое раскрывается до уровня терминальных символов.

Терминальные символы и есть аксиомы.

Правила подстановки – это логические правила.

Нетерминальные комбинации – теоремы.

Проблемы при формировании систем:

1. Выбор системы аксиом или выбор терминального алфавита;

2. Установление правил игры или правил подстановки.

Рассмотрим характеристики:

1. полнота;

2. непротиворечивость;

3. разрешимость;

4. вычислимость.

Такая алгебраическая система строится для отображения определенной области знаний.

Полнота:

Модель является полной, если любое понятие (символ), относящееся к этой области знаний, входит в полный алфавит системы.

Непротиворечивость:

Любое слово является истинным, если оно может быть представлено через терминальные символы. На одной и той же терминальной системе не могут быть доказаны истинность и ложность выражения одновременно.

Гедель доказал:

1. всякая полная система противоречива;

2. арифметика является полной системой.

Разрешимость:

Существует такой набор терминальных символов, который на основе правил подстановки образует нетерминальный символ.

Вычислимость:

Каждый нетерминальный символ может быть выражен через терминальные символы.

Свойства систем и моделей

1. Вводятся 2 функции, которые помогают определить свойства:

• вспомогательная функция

• производящая функция выхода

Вспомогательная функция относится и к алгебраическим и к временным системам. Это функция, которая устанавливает взаимосвязь между некоторыми элементами системы.

Пример:

х₁

х₂ S_i Y

х₃

S: (х₁, х₂, х₃) ^F Y

F = ax₁ + bx₂ + cx₃

(a + b + c) <= 1 - вспомогательная функция