Лекции / семестр3 / Альшина (МП-2) / Pr6
.doc3. Признаки Коши и Даламбера для рядов с неотрицательными членами.
Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами an>0 и тогда
-
при l<1 ряд сходится,
-
при l>1 ряд расходится,
-
при l=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство.
-
Если l<1, то l<1-2 l+ <1-.
Т.к. , то >0 N(): l- <an+1/an< l+ <1- =q<1 для n>N ()
an+1 anq,
тогда
aN+1 aN q
aN+2 aN+1 q aN q2
………………………
aN+p aN+p-1 q … aN qp
Ряд aN q+ aN q+…+ aN qp+… сходится, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1 по признаку сравнения сходится и исходный ряд.
-
Если l>1, то l>1+2 => l- >1+.
Т.к. , то N(): l- << l+ для n>N ()
=> для n>N, тогда
aN+1 aN
aN+2 aN+1 aN
………………………
Т.о. члены ряда ограничены снизу положительной постоянной aN>0 и не стремятся к 0 ряд расходится.
3) рассуждения не применимы при l=1
Замечание. Признак Даламбера можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, если то
при l<1 ряд сходится - сходится, причем абсолютно
2) при l>1 ряд - расходится
3) при l=1 ничего сказать нельзя.
Признак Коши (радикальный) Пусть - ряд с неотрицательными членами an 0 и тогда
-
при l<1 ряд сходится,
-
при l>1 ряд расходится,
-
при l=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство.
-
если l<1, то l<1-2 =>l+ <1-. Т.к. , то из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к l. Причем l наибольшая по величине точка сгущения последовательности
т.о. N():
<l+ <1- =q<1, для n>N().
иначе бы существовала другая, большая по величине точка сгущения .
=>an<qn, т.е. ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем q<1.
2) Если l>1, то l>1+ => l- >1.
Т.к. , то N(): l- < для nk>N()
=> => >1 => бесконечное число членов ряда больше 1 => члены ряда не стремятся к 0 => ряд расходится.
3) рассуждения не применимы при l=1.
Замечание. Радикальный признак Коши можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, если то
при l<1 ряд сходится - сходится абсолютно
2) при l>1 ряд - расходится
3) при l=1 ничего сказать нельзя.
Замечание 3. Если о ряде известно лишь, что или то о сходимости действительно ничего сказать нельзя. Например, ряды и удовлетворяют обоим условиям. При этом один из них сходится, а другой расходится.
Интегральный признак Коши. Если функция и при , то ряд
,
сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл
.
Доказательство.
k при , в силу убывания
.
Проинтегрируем неравенство по отрезку
.
Суммируя эти неравенства от k=1 до k=n, получим
.
Полагая - частичные суммы ряда, получим
.
1) Если несобственный интеграл сходится, то при n =>
.
Т.е. последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами ограничена сверху ряд сходится.
-
Если ряд с неотрицательными членами сходится, то при n =>
.
Для при : 1n в силу неотрицательности
.
Т.о. совокупность интегралов ограничена => несобственный интеграл сходится.
Примеры.
-
- ряд Дирихле.
,
верхняя подстановка конечна, если =>
Ряд Дирихле сходится при и расходится при .
-
- расходится, т.к.
- расходится.
4. Формула Стирлинга.
Для успешного применения радиального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу для n!, выведенную Стирлингом
при
, где .
(Без доказательства.)
Примеры.
-
-
-
-
-
-
-
(ряд расходится по необходимому признаку)