Лекции / семестр3 / Альшина (МП-2) / Pr9

§15. Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом назовем ряд вида c_n(z-z₀)ⁿ, z₀ -центр, c_n - коэффициенты - заданные комплексные числа. При z= z₀ ряд очевидно сходится. Это может быть единственная точка сходимости n!zⁿ, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zⁿ/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов c_n.

1. Теорема Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд c_n(z-z₀)ⁿ сходится в точке z₁ z₀ , то он абсолютно сходится и при z: |z-z₀|<|z₁-z₀ |, причем в замкнутом круге

|z-z₀|<|z₁-z₀| сходится равномерно. Доказательство. Выберем произвольную точку z: |z-z₀|<|z₁-z₀|. В силу необходимого условия сходимости ряда A>0 : для n |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<A

 |c_n|<A/|z₁-z₀|ⁿ  |c_n(z-z₀)ⁿ|<A|(z-z₀)/(z₁-z₀)|ⁿ .

Но |(z-z₀)/(z₁-z₀)|=q<1  |c_n(z-z₀)ⁿ|<Aqⁿ  ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией  сходится абсолютно.

При |z-z₀|  <|z₁-z₀| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |c_n(z-z₀)ⁿ|  A|/(z₁-z₀)|ⁿ < Aqⁿ , q<1 

Следствия теоремы Абеля. 1. Если степенной ряд расходится в точке z₂ z₀ , то он расходится и при z: |z-z₀|>|z₂-z₀ |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в круге радиуса <|z-z₀ |, в частности и в точке z₂, что противоречит условию.). 2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z₁-z₀ |=R для z₁, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точки z₀ до точек z₁, в которых сходится ряд c_n(z-z₀)ⁿ .

Если R, то для z₂: |z₂-z₀|>R ряд расходится.  R=inf|z₂-z₀ |=R для z₂ , где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z₀|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0 - радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы |z-z₀|=R может как сходиться, так и расходиться.

3.Формула Коши-Адамара.

R=1/L, L=

Доказательство.

Применяем радикальный признак Коши

Пусть сначала 0<L<,

Тогда ряд сходится при

Если L=0, то

т.о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

Если L=, то

т.о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т.о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т.е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

4. В круге |z-z₀|<R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)C^(|z-z₀|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!

6. c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)  c₀=f(z₀), c_n+1(n+1)(z-z₀)ⁿ=f '(z)  c₁=f '(z₀)… c_n+k(n+k)!(z-z₀)ⁿ=f^(k)(z)  c_k=f^(k)(z₀)/k!

7. Пример. : c_n=1  R=1.

S_n=[1-(z-z₀)ⁿ⁺¹]/[1-(z-z₀)]; |z-z₀ |<1

=1/[1-(z-z₀)].  =1/[1-(z-z₀)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования

1. по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга сходимости нет, т.к. модуль членов ряда не убывает ни для каких z.

2. по формуле Коши-Адамара R=1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (z=-1 ), а в других расходится (z=1 ),.

3. по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга ряд сходится, т.к. мажорируется сходящимся .

9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)

Итак c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)C^(|z-z₀|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает

2. Теорема Тейлора.

Теорема Тейлора. Если f(z)C^(|z-z₀|<R), то степенной ряд

c_n(z-z₀)ⁿ =>f(z) при |z-z₀|<R.

Доказательство. Возьмем z: |z-z0|<R и построим C - окружность радиуса  с центром в точке z0 и содержащую точку z внутри: для C: | -z0|=, <R, |-z0|>|z-z0|. Т.к. f(z)C(|z-z0|< ), то по интегральной формуле Коши ; Преобразуем подынтегральное выражение Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь |z-z0|/|-z0|<1.

 C_ ряд сходится равномерно по так как мажорируется сходящимся числовым рядом

f(z)=;

c_n==f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!, что и доказывает и единственность разложения. 

 Замечания 1) Разложение функции f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ называют разложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши c_n= , где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z₀, целиком лежащий в области аналитичности функции.

Пример.

; …



.

3. Ряды Тейлора элементарных функций.

1. (Воспользоваться   k C_k=1/k!)

2. (Воспользоваться )

3. (Воспользоваться )

4. , (Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

5. (Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии , ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

6. (Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии , ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

7. 



 k

В частности, при =0.5