§9. Ряды комплексных чисел.

1. Числовые ряды.

Пусть дана последовательность {a_n} комплексных чисел.

Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется рядом.

Определение. Конечные суммы S_n= называются частичными суммами ряда.

Они также образуют последовательность {S_n}.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {S_n}S. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда =S.

Определение. Ряд - остаток ряда. Очевидно . Остаток сходящегося ряда – число. Будем обозначать его r_n.

Пример. Сумма бесконечной геометрической прогрессии - простейший пример ряда. Последовательность частичных сумм этого ряда . При q<0 этот ряд сходится и .

2. Свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то a_n0 .

Доказательство. У сходящегося ряд сходится последовательность частичных сумм {S_n} >0  N( ): |S_n+m-S_n|<для n>N и m>0  |a_n+1|=|S_n+1-S_n|<для n>N a_n0 при n.

Теорема 9.1. Пусть c – комплексное число. Если ряд сходится, то и ряд также сходится и

.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы и . По условию . Т.к. S_n=cS’_n и =. Согласно определению суммы ряда отсюда сразу следует

.

Теорема 9.2. Пусть ряды и сходятся, тогда ряд также сходится и

=+.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы , и . Очевидно, _n=S_n+S’_n. По условию  и  = +. Откуда сразу следует утверждение теоремы.

Пример. ==.

3. Критерий Коши сходимости ряда.

Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {S_n} сходится  >0 N(): |S_n+m-S_n|<для n>N и m>0. Отсюда следует

Критерий Коши сходимости ряда: Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы >0 N(): |a_n+a_n+1+…+a_n+m|<для n>N и m0.

Пример. Рассмотрим гармонический ряд - .

n>0 m=n-1 =>.

Таким образом, для n>0 при =0.5 и m=n-1 критерий Коши не выполняется.

§10 Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

1. Основные понятия.

Определение. Если ряд из модулей сходится, то ряд исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Теорема 10.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле.

Доказательство.

Если ряд из модулей сходится, то для него выполнен критерий Коши  >0 N(): < для n>N и m0, но |a_n+a_n+1+…+a_n+m|<для исходного ряда также выполнен критерий Коши и он сходится.

Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. Если сам ряд сходится, а соответствующий ряд из модулей расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Из свойств неубывающих последовательностей 

Лемма. Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была бы ограниченна сверху, причем, если S=sup{}, то S – сумма ряда.

Пример.

=

Т.о. у ряда с положительными членами ограничена последовательность частичных сумм  ряд сходится.

2. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Теорема 10.2. (Первый признак сравнения) Пусть a_n  0, b_n  0 и a_n =O(b_n). Тогда

1. если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2. если же расходится ряд , то расходится и ряд .

Доказательство.

По определению a_n =O( b_n)   0<c< : a_n  c b_n, в частности возможно a_n  b_n.

1. если “больший” ряд сходится  ограничена последовательность его частичных сумм  M<, но тогда последовательность частичных сумм “меньшего” ряда cM также ограничена сверху. Тогда по Лемме  ряд сходится.

2. Предположим обратное, а именно “больший” ряд сходится, тогда по доказанному в п.1) “меньший” ряд должен сходится, а это противоречит условию.

Теорема 10.3. (Второй признак сравнения) Пусть a_n >0, b_n >0 и  , 0<k<. Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

Если  , то >0 N(): n>N()

  Выбирая , можем добиться k->0. Применяя первый признак сравнения и оценку , получим, что из сходимости ряда следует сходимость ряда . Аналогично используя оценку , из расходимости ряда следует рассходимость ряда .

Примеры.

1. , , а ряд сходится – это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. , начиная с определенного номера n>N выполнено , а гармонический ряд расходится  расходится и исходный ряд.

3. - ряд с неотрицательными членами.

при n.

Но ряд сходится, значит по первому признаку сравнения сходится и исходный ряд.

4. - ряд с отрицательными членами, но если мы докажем сходимость ряда , то мы тем самым докажем сходимость исходного ряда. при n  исходный ряд сходится.

5. - ряд с положительными членами, т.к. при n=3,4,… и  (под логарифмом стоит число, большее единицы). Учитывая, что при n, получим асимптотику членов исходного ряда

,

т.о. исходный ряд эквивалентен гармоническому и  расходится.

4