Лекции / семестр3 / Альшина (МП-2) / Pr8
.doc§14. Ряды аналитических функций.
1. Понятие функционального ряда. Пусть дана последовательность {u k(z)} функций, z g. Выражение - называется функциональным рядом, заданным в g. Определение.Если при z g, соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу f(z), то в g определена функция, которая называется суммой функционального ряда, а сам ряд называется сходящимся в g.
rn(z)=f(z)- - n-ый остаток ряда
Если ряд сходится в g, то
>0 N(,z): | rn(z)| <для n > N(, z).
Пример.
- знакочередующийся ряд, сходится и признаку Лейбница, остаток ряда не превышает модуля следующего слагаемого
Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши: для >0 N( ,z): | Sn+m(z)-Sn(z)| <для n > N и m>0. Вообще говоря, в каждой точке z g N свое: N=N( ,z) и общего N для всей z может и не существовать.
2. Равномерная сходимость uk(z) в области g. Определение. Если для >0 N() : | rn(z)| <для n >N() и z одновременно, то ряд uk(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g. Обозначение: uk(z)=>f(z).
Критерий Коши (необходимое и достаточное условие равномерной сходимости).
Если для >0 N( ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <для n > N и m>0 и z одновременно, то ряд uk(z)=>f(z). Доказательство. Необходимость.
Пусть uk(z)=>f(z) >0 N(): |f(z)-Sn(z)| < /2 для n>N() и zg => и |f(z)-Sn+m(z)| < /2 => =>| Sn+m(z)-Sn(z)| <для n>N и m>0 и zg. Достаточность. Пусть для >0 N( ): | Sn+m(z)-Sn(z)| < для n>N и m>0 и zg => сходится в zg, т.о. в g определена f(z)=.
для n>N() и zg => |rn(z)| <для n>N() и zg.
Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости). Если |uk(z)|<ak, ak>0 для k>N и zg и ak сходится, то uk(z)=>f(z) в g. Доказательство.
ak сходится => >0 N(): < для n>N()
для n>N() и zg.
Примеры.
-
-
(оценить сверху значением функции в ее максимуме)
-
(оценить сверху значением функции в ее максимуме )
-
() 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Свойства равномерно сходящихся рядов: Теорема 14.1. (непрерывность суммы) Пусть uk(z)С(g) и uk(z)=>f(z), тогда f(z)С(g). Доказательство.
uk(z)=>f(z) одновременно выполнены неравенства
|f(z+z)-Sn(z+z)|< /3 и |f(z)-Sn(z)|< /3 для >0.
uk(z)С(g) для >0 и N >0:
при |z|<
|f|=|f(z+z)-f(z)|
|f(z+z)-Sn(z+z)|+|Sn(z+z)-Sn(z)|+|Sn(z)-f(z)|
/3+/3+/3=для |z|< , n>N.
Примеры
-
Ряд из непрерывных функций сходится к разрывной функции, значит сходимость неравномерная
-
аналогично
Теорема 14.2. (возможность почленного интегрирования). Пусть uk(z)С(g) и uk(z)=>f(z), кусочно- гладкий контур g конечной длины L. Тогда .
Доказательство
uk(z)=>f(z)
для >0 N(): | rn(z) |</L для n>N()
=<=
Замечание. Эти два свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами совершенно аналогичны свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами.
Примеры.
-
Найти , если
-
Является ли непрерывной функция
-
-
-
Теорема Вейерштрасса. Если uk(z)C(g) и uk(z)=>f(z) в любой замкнутой подобласти области g то:
-
f(z)C(g).
-
, для zg.
-
z .
Доказательство 1. Рассмотрим произвольную z0g и построим односвязную : z0, в силу Теоремы 14.1 f(z)С(g).
Рассмотрим произвольный контур . По Теореме 14.2 .
Т.о. для f(z) выполнены все условия Теоремы Морера f(z)C(). В силу произвольности f(z)C(g).
Замечание. Т.к. rn(z)=f(z)-Sn(z) rn(z) C(g).
2. Рассмотрим произвольную z0g и произвольный контур g. Обозначим .
для z, т.к.
По Теореме 14.2 это равенство можно проинтегрировать почленно
По Теореме 8.1.
.
В силу произвольности z0 утверждение 2 доказано.
Замечание. rn(p)(z)=f(p)(z)-Sn(p)(z)=.
3. Рассмотрим и - замкнутый контур: g и z и |z-|d>0.
rn(z) C(g) для z .
uk(z)=>f(z) >0 N(): , где L- длина .
Тогда .
Т.о. получена равномерная оценка для остатка ряда для производных .
Пример. Ряд zk/k2 сходится равномерно в круге |z|1, а ряд из производных zk-1/k не может равномерно сходится в этом круг, т.к. он расходится при z=1. Ряд zk-1/k равномерно сходится при |z|<1.
Для равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами верна
Теорема 14.3. Пусть uk(x) – непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b] и ряд, составленный из производных - равномерно сходится на отрезке [a,b], тогда если ряд сходится хотя бы в одной точке c[a,b], то он равномерно сходится на всем отрезке [a,b], его сумма непрерывно дифференцируема и .
Доказательство.
Пусть (непрерывна в силу равномерной сходимости ряда).
Найдем первообразную
для . Ряд сходится по условию теоремы тоже сходится на всем промежутке.
Левая часть равенства имеет производную по x S(x)=(x) и
сходится равномерно, т.к. первый ряд справа сходится равномерно, а второй не зависит от x.
Примеры.
-
Равномерно сходящийся на всей действительной оси ряд дифференцировать нельзя, так как ряд из производных расходится, например при x=0.
-
(1+1+1+1+…)=0+0+0+0+… Ряд, полученный в результате формального дифференцирования, сходится и даже равномерно, но дифференцирование не правомерно, т.к. исходный ряд расходится.
-
почленное дифференцирование возможно в силу равномерной сходимости ряда из производных.