Лекции / семестр3 / Альшина (МП-2) / Вопросы к экзамену по специальным разделам
.docВопросы к экзамену по специальным разделам математического анализа
для групп МП-20-25, ИМЭ-25, осенний семестр 2003-2004 уч.г.
-
Комплексное число, действия с комплексными числами.
-
Предел последовательности комплексных чисел. Критерий Коши.
-
Функция комплексного переменного. Понятие области.
-
Определение показательной, логарифмической, степенной, тригонометрических, гиперболических функций и обратных тригонометрических функций.
-
Предел функции комплексного переменного. Определение по Гейне и по Коши.
-
Производная функции комплексного переменного. Необходимое условие дифференцируемости.
-
Достаточное условие существования производной функции комплексного переменного.
-
Аналитичность, необходимое и достаточное условие аналитичности.
-
Свойства аналитических функций.
-
Интеграл по комплексной переменной. Определение. Вычисление.
-
Свойства интеграла по комплексной переменной.
-
Теорема Коши для односвязной области
-
Теорема Коши для многосвязной областей.
-
Неопределенный интеграл функции комплексного переменного.
-
Интегральная формула Коши.
-
Теорема о среднем.
-
Принцип максимума модуля (без доказательства).
-
Интеграл типа Коши.
-
Существование производных любого порядка у аналитической функции.
-
Теорема Мореры.
-
Теорема Лиувилля.
-
Сходимость числового ряда. Определение. Критерий Коши.
-
Необходимый признак сходимости числового ряда.
-
Признаки сравнения сходимости рядов.
-
Признак Даламбера сходимости рядов.
-
Радикальный признак Коши сходимости рядов.
-
Интегральный признак Коши сходимости рядов.
-
Признак Лейбница сходимости рядов.
-
Признак Дирихле.
-
Признак Абеля.
-
Ограниченность частичных сумм
и
. -
Абсолютная и условная сходимость. Связь между сходимостью и абсолютной сходимостью.
-
Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (без доказательства)
-
Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
-
Функциональные ряды. Область сходимости.
-
Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости.
-
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
-
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
-
Теорема об интегрируемости функционального ряда.
-
Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций (аналитичность суммы)
-
Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций (показать возможность почленного дифференцирования)
-
Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций (равномерная сходимость ряда из производных).
-
Теорема о почленном дифференцировании рядов из действительных функций.
-
Степенные ряды. Теорема Абеля.
-
Свойства степенных рядов, следующие из теоремы Абеля.
-
Теорема Тейлора.
-
Ряды Маклорена для функций exp(z), sinz, cosz, ln(1+z), arctg(z),
-
Понятие правильной точки. Нули аналитической функции.
-
Теорема о нулях аналитической функции.
-
Теорема о единственности определения аналитической функции.
-
Теорема о существовании особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (без доказательства).
-
Ряд Лорана.
-
Область сходимости ряда Лорана.
-
Теорема Лорана.