§22. Единственность определения аналитической функции.

1. Понятие правильной точки.

Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.

Точка z₀g называется правильной точкой функции f(z), заданной в g, если  в круге |z-z₀|<(z₀), где (z₀)>0 - радиус сходимости степенного ряда.

Все остальные точки zg- особые точки функции f(z), заданной в g.

Замечание. Если f(z)C^ (g), то все zg- правильные точки f(z). Если f(z) задана в , то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми.

2. Нули аналитической функции.

Определение. Пусть f(z)C^(g); f(z₀)=0, z₀g, тогда z₀ - нуль аналитической функции.   С₀ =0. В этом случае

Если C₁=…= C_n-1 =0, а C_n0, то z₀ - нуль n-того порядка. В этом случае

Заметим, что в нуле n-того порядка f(z₀) = f ' (z₀)=… = f^(n-1)(z₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(z₀)0 и f(z)=(z-z₀)ⁿf₁(z), где f₁(z₀) 0.

Если C_n=0 n, то f(z)0.

Примеры.

1. Точка z=0 - нуль первого порядка.

2. Точка z=0 - нуль второго порядка.

3. Точка - ноль третьего порядка

4. Точка - ноль второго порядка

Теорема о нулях аналитической функции.

Пусть f(z)C^(g) и  : (z_iz_k , все z_ng и f(z_n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) ag (z_n=ag). Тогда f(z)0, для zg.

Доказательство.

Т.к. ag, то причем радиус сходимости этого степенного ряда R₀ не меньше расстояния от a до g.

f(z)C^(g)=> по непрерывности f(a)=0 => С₀=0, т.о.

Новая функция f₁(z) отличается от исходной одним множителем (z-a) => имеет те же нули, что и f(z). По непрерывности f₁(a)=0 => С₁=0.

Продолжая в том же духе, получим C_n=0 n. Это означает, что f(z)0 z: |z-a|<R₀

_­Докажем, что f(z₁)0, для z₁g.

Соединим z1 и a кусочно-гладкой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от ее границы g на расстояние d>0.

Поскольку z: |z-a|<R₀ можно рассматривать, как предел последовательности нулей f(z), то в качестве нового центра разложения можем выбрать точку z=a₁ – точку пересечения кривой L с окружностью |z-a|=R_0­. Проведя аналогичные рассуждения, получим, что f(z)0 z: |z-a₁|<R₁, где R₁d. Продолжая рассуждать подобным образом, покроем всю кривую L кругами, внутри которых f(z)0. При этом точка z₁ попадет внутрь последнего круга и тем самым f(z₁)= 0.

Следствие. f(z)C^(g) внутри любой замкнутой подобласти может иметь лишь конечное число нулей, иначе .

Пример. sin (1/z) )C^(g/0) имеет в конечной замкнутой области бесконечное число нулей {z_n=1/n}0. Что не противоречит теореме, т.к. в z=0 нарушается аналитичность.

3. Теорема единственности определенной аналитической функции.

Теорема 22.1. Если f₁ (z) и f ₂(z) C^(g) и {z_n}ag, (z_iz_k) и f₁(z_n)=f₂(z_n ), то f₁(z)f₂ (z) для zg. Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функция h(z)=f₁(z)-f₂(z)0 в g.

Следствия теоремы единственности.

В области g может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на

a) {z_n}ag, (z_iz_k) сходящейся последовательности различных точек.

b  g, кусочно-гладкой кривой .

c) zg'g в произвольной подобласти области g.

Т.е. с этих множеств функцию f(z) можно аналитически продолжить, причем единственным способом.

На этом факте основано продолжение элементарных функций с действительной оси. В самом начале курса мы формально вели элементарные функции комплексного переменного (expz, sinz, cosz…) совпадение обозначений которых с функциями, заданными на действительной оси могло оказаться чистой случайностью.

Однако мы получили разложения в степенные ряды функций комплексного переменного

,

Эти ряды на действительной оси z=x совпадают с рядами Тейлора для элементарных функций действительного переменного, полученными в курсе анализа функций действительных переменных. Т.о. элементарные функции комплексного переменного совпадают со своими аналогами на действительной оси (или отрезках действительной оси). Поэтому мы можем утверждать, что их аналитическое продолжение на комплексную плоскость единственно, согласно теореме единственности (случай b – функции совпадают на кусочно-гладкой кривой).

Продолжение соотношений типа c действительной оси также единственно, как продолжение функции .

Теорема 22.2. На границе круга сходимости степенного ряда лежит хотя бы одна особая точка аналитической функции .

Доказательство (от противного) Если бы все точки границы были бы правильными, то : |-z0|=R- граница круга сходимости ()>0: z |-z|<(), т.е. задана строго положительная функция () Докажем, что для этой функции в любых двух точках границы круга сходимости выполнено неравенство: .

Предположив, что это неравенство не выполнено, получим, например,

,

но тогда круг лежит целиком внутри круга

Тогда степенные ряды с центром разложения в точках и совпадают в общей части кругов сходимости и и т.о. в силу единственности аналитического продолжения радиус круга сходимости ряда больше, чем . Это противоречие и доказывает неравенство

.

Т.о. вещественнозначная функция - равномерно непрерывна на окружности |-z₀|=R, и в силу ограниченности достигает своей нижней грани. Т.е. ₀: , т.е. ₀ - особая точка на границе круга сходимости.

заметим, что часть этого круга лежит вне круга сходимости исходного степенного ряда.

Следствие. Радиус сходимости степенного ряды аналитической функции равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки. Это можно использовать для определения радиуса сходимости, например, ряды

Центр разложения z=0, ближайшая особая точка z=-1 – точка ветвления функции .