2. Средние величины

Средняя, являясь обобщенной характеристикой всей статистической совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности.

Эту величину можно представить в виде функции: F(x1,x2,x3,...,xn)

Так как данная величина в большинстве случаев отражает реальную экономическую категорию, ее называют определяющим показателем.

Если в F(x1,x2,x3,...,xn) все величины x1,x2,...,xn заменить их средней величиной *, то значение функции должно остаться прежним:

Раскрытие функции: F(x1,x2,x3,...,xn) приводит к построению разных средних, наиболее широко используются степенные средние вида: .

Придавая z различные значения получим различные виды средних:

Z = -1 - средняя гармоническая;

Z=0 - средняя геометрическая;

Z=1 - средняя арифметическая;

Z=2- средняя квадратическая.

Все средние связаны правилом, которое называется правилом мажорантности средних:

X_h<=X_g<=X_a<=X_q

Рассмотренные средние называются простыми и применяются при изучении вариации признака от объекта к объекту и связи признаков. Если средняя величина служит для характеристики обобщенных показателей системы, то используются не простые, а взвешенные средние.

Обобщающая формула для взвешенных средних следующая - , гдеf - веса вариант, частоты или частности.

; ;;.

Наиболее часто в качестве средних используется средняя арифметическая (при вычислении которой общий объем признаков совокупности остается неизменным).

Свойства арифметической средней величины.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

2. Если каждое индивидуальному значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз, где а - постоянное число.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то и средняя величина возрастет или уменьшится на столько же .

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится .

Следствия

• Вместо абсолютных значений весов можно использовать доли или проценты.

• Если все веса равны, то средняя арифметическая равна средней арифметической взвешенной.

5.Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Правила выбора средней.

1. Средняя арифметическая используется, если известны численные значения знаменателя формулы, а значение числителя могут быть получены произведением.

2. Средняя гармоническая используется, если известны числовые значения числителя, а значения знаменателя могут быть получены как частные от деления показателя.

3. Средняя геометрическая применяется, если необходимо найти значение признака, качественно равноудаленного от максимального и минимального значения.

4. Средняя квадратическая применяется для измерения вариации признаков совокупности, что обусловлено 5 свойством средней арифметической.

5. Средняя хронологическая используется, если данные представлены не за какой либо период, и по состоянию на дату.